Du second degré en 3ème ???

Bonjour à vous, j'ai un exercice qui me pose problème: je dois le rendre accessible à un élève de 3ème. En effet, celui-ci nécessite du second degré...
Le principe est simple, sachant que ABCD est un rectangle et que AB + BC + CD = 21m, à quelle distance de A doit se trouver le point B pour que l'aire soit maximale ?

Avec du second degré, on obtient facilement Aire(ABCD) = -2AB² + 21AB, donc en calculant (alpha ; beta) les coordonnées du sommet de la courbe représentative, on trouve AB = 5,25m pour une aire maximale.

Mais comment rendre ceci accessible à un élève de troisième ? Selon les recommandation de leur prof, il faudrait faire un tableau de valeur, or la solution n'est pas un entier donc ce serait beaucoup trop tâtonner avec un tableau de valeur.

Merci de me conseiller.

Bonsoir Kirito,

Je proposerai un tableau de valeurs mais en faisant varier la mesure de BC. On trouve deux solutions avec une aire de 55 m².
....

Oui, il y a en effet deux solutions pour une aire de 55m². Cependant l'aire maximale est de 55.125m².

Ce résultat est obtenu pour BC = 10 m et 11 m,
on cherche une valeur intermédiaire pour BC, soit 10,5 qui donne AB = 5,25.
On peut analyser autour de 10,5
...

Franchement c'est ce que je pensais faire quand on m'a dit "tableau de valeur" mais après ça devient du grand n'importe quoi, dans le sens ou après il faut étudier au dixième, au centième.... enfin bref ça ne tient pas vraiment la route comme méthode :s

C'est exact, cela manque de justification, mais si la précision sur BC est demandée au dixième, on peut proposer un résultat.

On peut aussi débuter par le calcul de la valeur la plus grande possible pour BC.

A vrai dire je n'ai pas plus d'indication hormis "à quelle distance de A doit se trouver le point B pour que l'aire soit maximale ?".
Je suppose donc qu'il s'agit d'une valeur exacte

Oui la valeur exacte,

On pourrait répondre, la valeur maximale possible pour BC est 10,5 m,
je cherche la valeur de l'aire correspondante, puis je vérifie que cette aire est la maximale en faisant diminuer la valeur de BC.

Pourquoi la valeur maximale de BC ?

On peut chercher en premier l'intervalle possible pour la mesure de BC.
Et puisque on demande un maximum, pourquoi ne pas débuter par le maximum de BC.
C'est juste une démarche, une hypothèse de recherche.

Je ne pense pas que ce soit une bonne piste de recherche. Nous savons que l'aire est maximale pour AB = 5.25 et BC=10.5. Donc si BC>10.5 on aura donc AB=/=5.25

BC ne peut pas être supérieur à 10,5 puisque sa valeur maximale est 10,5.

Pourquoi ? Par exemple si BC=11 on aurait AB = DC = 5, ce qui est possible

Exact,

10,5 est la valeur maximale pour AB et non BC.

Sinon sur un autre forum quelqu'un a écrit :

Citation
Soit l la largeur et L la longueur.
Ecrivons que L=l+k

Alors A=l.L=l.(l+k)
A=l.l+l.k

Interprétons géométriquement ce que cela veut dire.
L'aire est celle d'un carré et d'un rectangle.

L'aire sera maximale si k=l car alors l'aire du rectangle est celle d'un carré.
Ainsi 21=l+l+l+l
l=21/4=5,25

Ça me semble cohérent, hormis le fait que l'aire est maximale lorsque k=l. En effet, je me pose la question comment sait-on cela ?