NOmbre complexe type bac

Slt,

Dans cet exercice j'ai du mal avec certaine question pouvez vous m'aider svp?

Voici l'énoncé:

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct
On considère l'équation

(E): z²-2z√(3)+4 = 0

Résoudre l'équation (E) dans l'ensemble C des nombres complexes
On cosidère la suite (Mn) des points d'affixes zn = 2^n e^i(-1)^n*π/6, définie pour n≥1

a) Vérifier que z1 est solution de (E)

b) Ecrire z2 et z3 sous la forme algébrique

c) PLacer les points M1 , M2 , M3 et M4

3 MOntrer que, pour tout entier n≥1, zn = 2^n*[(√(3)/2)+((-1)^n*i/2)]

Calculer les longueur M1M2 et M2M3

Pour la suite de l'exercice, on admet que, pour tout entier n≥1 , MnMn+1 = 2^n√(3)

On note L^n = M1M2 + M2M3 + ... + MnMn+1

a) Montrer que , pour tout entier n≥1 , L^n = 2√3 (2^n - 1)

b) Déterminer le plus petit entier n tel que L^n ≥ 1000

J'ai fais

(E) = z² - 2z√3 + 4 = 0

Δ = b² - 4ac = (-2√3)² - 4 x 1 x 4 = 12 - 16 = -4

Δ < 0 donc l'équation possède deux solution complexe conjugué

z1 = (2√3 + i√4 ) / 2 = (2√3 + 2i ) / 2 = √3 + i

z2 = (2√3 - i√4 ) / 2 = (2√3 - 2i) / 2 = √3 -i

2a) z1 = 2^1 e^(i(-1)^1*π/6) = √3 - i

z1 bien solution

b) z2 = 2^2e^(i (-1)^2π/6) = 2√3 + 2i

z3 = 2^3 * e^(i(-1)^3*π/6) = 4√3 -4i

c) M1 = z1 M2 = z2 M3 = z3

et M4 = z4 = 2^4 * e^(i(-1)^4 * π/6) = 8√3 - 8i

zn = 2^n e^(i(-1)^nπ/6)
e^ ( i (-1)^ π/6) = √(3) / 2 - 1/2i
e^ (i(-1)^nπ/6) = √(3)/2 - 1^n i / 2 = √(3)/2+(-1)^ni/2

donc zn = 2^n*[(√(3)/2)+((-1)^n*i/2)]

M1M2 = √(xM2 - xM1)² + (iyM2 - iyM1)² = √(6)*i

M2M3 = (Même méthode) = 2√2

5a) je n'arrive pas à montrer

5b) je n'arrive pas à déterminer

Merci pour vos réponses

Bonsoir moh18,

Pour la question 5,
a) détermine la nature de la suite MnMn+1, puis calcule la somme des termes.
b) Utilise les propriétés de la fonction Ln.

Le reste est bon?

Question 2 c) Une erreur de signe pour M4.
Question 4, les calculs à revoir

Pour le 5a) j'ai fait

MnMn+1 = 2^n√(3) = q^n × u0 est une suite géométrique

Pour tout entier naturel n,

L^n = S(q-1) = 2√3 (2^n - 1)

Est-ce bon ?

POur le b) je sais que n = 9 mais je c pas le prouver

Les longueurs MnMn+1 forment une suite géométrique de premier terme 2√3 et de raison 2.
Calcule la somme des n premiers termes.

2√ $3(2^n$ -1)≥1000 équivalent à
2√ $3*2^n$ ≥1000+2√3
$2^n$ ≥(1000+2√3)/2√3
tu utilises ensuite ln
...

5a)

S = 1 + q + q^2 + ... + q^n
qS = q + q^2 + ... + q^ n + q^n+1

S - qS = 1 - q^n+1

Donc S (q - 1 ) = 1 - q^n+1 et comme q≠1 , S = (1 - q^n+1) / (1 - q)

Pour tout entier naturel n ,
1 + 2√3 +2^2√3 + ... + 2^n√n = (1 - 2^n+1√3) / (1 - 2√(3) ) = 2^n+1√3 -1 = 2√3 ( 2^n -1)

POur le b)

2√3(2^n-1)≥1000
<=> 2√3*2^n≥1000+2√3
<=> 2^n≥ 1000+2√3)/2√3
<=> 2^n ≥ √((1000+2√3)/2√3)
<=> n ≥ (√((1000+2√3)/2√3))/2
<=> n ≥ 8,5

donc n = 9

Est-ce bon?

Attention la somme n'a que n termes, donc le dernier terme a pour exposant n-1;
Le premier terme est 2√3 et la raison 2.

A partir de :
2n≥(1000+2√3)/2√3
$Ln2^n$ ≥Ln[(1000+2√3)/2√3]
soit n ≥Ln[(1000+2√3)/2√3]/Ln2

pour le 5b) comment ce résonnement peu donné n = 9

parce quand je calculer je trouve (250√3)/3 + 1/2

As tu fait le calcul, on trouve n = 8,17,
donc vérifie pour 8 et 9.

2√3(2^n-1)≥1000
<=> 2√3*2^n≥1000+2√3
<=> 2^n≥ 1000+2√3)/2√3
<=> 2^n ≥ √((1000+2√3)/2√3)
<=> Ln2n≥Ln[(1000+2√3)/2√3]
n ≥Ln[(1000+2√3)/2√3]/Ln2
n ≥ [(1000+2√3)/2√3]/2
n ≥ [((500√3)/3)+1)]/2
n ≥ ((500√3)+3)/6

Est-ce bon? car je ne comprend pas comment vous trouver n = 8017

J'ai écrit le calcul :

$2^n$ ≥(1000+2√3)/2√3
$Ln2^n$ ≥Ln[(1000+2√3)/2√3]
soit n ≥Ln[(1000+2√3)/2√3]/Ln2
n ≥8,178

Ok , il faudra que je règle ma calculatrice

Merci pou ton aide

Il faut faire attention aux parenthèses et aux priorités des opérations.