Etudier une suite à l'aide du nombre d'or

Bonjour, j'ai un soucis avec un exercice.
On a une suite Un+1 = 1+ (1/Un) avec U0=1.
a) Calculer les 5 premiers termes de la suite. ( fait )
b) Démontrer que pour tout entier naturel n, Un≥1 ( Je trouve Un≤1 dans mes calculs...)
c) Montrer que si la suite Un converge alors sa limite est le nombre ℘= (1+√5)/2
d) Démontrer que pour tout entier naturel n, |Un+1-℘|≤ 1/℘|Un-℘|
e) En déduire que |Un-℘|≤(1/℘ $^n$ |U0-℘|
f) En déduire que la suite converge vers ℘

Voila, merci d'avance a celui/celle qui voudra bien m'aider !

Bonjour laurbt,

Indique tes calculs
Un >0, 1/Un > 0 donc 1 + 1/Un ≥ 1

Mais la fonction inverse est decroissance, il ne faut donc pas tourner l'inegalité ?

Tu analyses le signe pas les variations.

Merci, et pour c) ?

Question c, tu résous l'équation l = 1 + 1/l

?? Je vois pas du tout...

Réduis au même dénominateur

Mais je comprend pas de quoi est ce qu'il faut partir

Si la limite est l alors Un+1 et Un tende vers l
soit l = 1 + 1/l

Mais "|" n'est pas un nombre dans l'énoncé, il ne peux pas représenter la limite, c'est pas un "l" c'est un trait!

C'est la limite que j'ai noté l, tu peux écrire x à la place.

Mais pourquoi est ce que la limite est égale a ça ?

Egale à quoi ?

Il faut trouver (1+√5)/2
Résous l'équation et tu trouvera ce résultat.

Je suis complètement perdue... Je comprend pas pourquoi l= 1+1/l

Si Un tend vers une limite a alors Un+1 tend aussi vers cette limite a
donc
Un+1 = 1 + 1/Un peut écrire
a = 1+1/a
tu réduis au même dénominateur
a²/a = a/a + 1/a
si a non nul
il reste à résoudre
a² -a - 1 = 0
équation du second degré
je te laisse la résoudre.

C'est bon merci ! Je trouve x1 = 1+√5/2
Ensuite, pour d) ?

Question d)
Ecris $U_{n+1}$ - ℘ = 1 + $1/U_n$ - ℘
= 1 + $1/U_n$ - 1 - 1/℘
= ....

Un+1 - ℘ = 1 + 1/Un - ℘
= 1 + 1/Un - 1 - 1/℘
= 1/Un - 1/℘
= (℘-Un)/Un*℘

Ensuite je suis bloquée... Comment faire ?

Tu passes ensuite aux valeurs absolue et tu majores le terme de droite comme Un ≥ 1,
|Un+1-℘|≤ 1/℘|Un-℘|

Donc (℘-Un)/Un*℘ = 1/℘|Un-℘| ?

pas égal mais inférieur ou égal.

Mais comment le sait-on que c'est inférieur ou égal ?

car Un ≥1
C'est égal si je divise par un nombre plus grand que 1 donc ...

Donc on a fini la question d) ? Ensuite pour la e) ?

Pour la question e) on utilise le résultat de la question d)
|Un-℘|≤ 1/℘| $U_{n-1}$ -℘|
| $U_{n-1}$ -℘|≤ 1/℘| $U_{n-2}$ -℘|
soit
|Un-℘|≤ 1/℘²| $U_{n-2}$ -℘|
Si on continue
....
|Un-℘|≤(1/℘)n |U0-℘|
Pour la question f) la limite de (1/℘)n |est 0 et U0-℘ > 0
donc Un-℘| tend vers 0, soit .....

Je comprend pas pour la f)...

Pour la question f, il faut déduire que la suite converge vers ℘.
si lim |Un-℘| tend vers 0, c'est que Un tend vers ℘.

Pour la question b), comment sait-on que Un>0 ?

U0 = 1 > 0 et Un+1 = 1 + 1/Un
la somme de deux nombres positifs donc > 0