Type BAC Nombre complexe

Slt,

J'ai quelques questions que je n'arrive pas à faire dans mon exercice pouvez-vous m'aidez svp?

Voici l'énoncé :

On note C l'ensemble des nombres complexes
Le plan est muni d'un repère (O,u,v)
On considère f qui à tout nombre complexe z associe

f(z) = z² + 2z + 9

Calculer l'image de -1 + i√3 par la fonction f
Résoudre dans C l'équation f(z) = 5
Ecrire sous forme exponentielle les solutions de l'équation
Soit λ un nombre réel. On considère l'équation f(z) = λ d'inconnue z
Déterminer l'ensemble des valeurs de z pour lesquelles f(z) = λ admet deux solutions complexes conjugué
Soit (F) l'ensemble des points du plan complexe dont l'affixe z vérifie
|f(z)-8| = 3
Prouver que (F) est le cercle de centre Ω(-1;0) et de rayon √3
Soit z un nombre complexe, tel que z = x + iy où x et y sont des nombres réels
a) Montrer que la forme algébrique de f(z) est
x²-y² + 2x+9 + i(2xy + 2y)
b) On note (E) l'ensemble des points du plan complexe dont l'affixe z soit telle que f(z) soit un nombre réel
Montrer que (E) est la réunion des deux droites D1 et D2 dont on précisera les équations

J'ai fait,

f( -1 + i√3) = 5
f(z) = z²+ 2z +9
⇔ z² + 2z + 9 = 5
⇔ z² + 2z +4 = 0

Δ = 4 - 16 = -12 donc deux solutions complexes conjugués

z1 = -1 + √(3)i
z2 = -1 - √(3)i

z1 = -1 + √(3)i = 2(-1/2 + √(3)i/2 ) = 2( cos(2π/3) + i sin(2π/3) ) = 2e^i(2π/3)

z2 = -1 - √(3)i = 2( -1/2 - √(3)i/2 ) = 2( cos(π/3) + i sin(π/3) ) = 2e^i(π/3)

f(z) = λ admet 2 solution complexes conjugué soit Δ < 0

z² + 2z + 9 = λ
⇔ z² + 2z + 9 - λ = 0 où a = 1 b = 2 et c = 9 - λ

donc λ ≠ 9 et λ ≠ 8 car lorsque λ = 9 , c=0 alors Δ > 0 et lorsque λ = 8, c= 1 et Δ = 0

ainsi 0 ≤ λ < 8

je n'est pas compris

5a) f(z) = z² + 2z + 9
⇔ (x + iy)² + 2(x + iy) + 9
⇔ x² - y² + 2x +2xiy + 2iy + 9
⇔ x² - y² +x +9 + i(2x + 2y)

5b) je n'est pas compris aussi

Est-ce bon pour ce que j'ai fait et merci pour vos réponses

Bonsoir moh18,

Ecriture exponentielle de z2 fausse argument est -2π/3.
il faut que le discriminant soit négatif.
...
f(z) -8 = (z+1)²
....
5 b) 2xy + 2y = 0
soit 2y(x+1) =0
Soit .....

pour le 3)
il faut que je fasse la résolution d'équation de degré pour tous les discriminant négatif ?

POur le 4)

f(z) - 8 = (z - 1)²
⇔ z² +2z +9 - 8 = z² - 2z + 1
⇔ z² + 2z +1 = z² - 2z +1
(je n'est pas compris)

5b)

2xy + 2y = 0
⇔ 2y(x + 1 ) = 0
⇔ 2(yx + y) = 0
(après je n'est pa compris)

f(z) = λ équivalent à z²+2z+9-λ=0
calcul du discriminant delta = 4-4(9-λ) = 4λ-32
si 4λ-32 < 0, l'équation admet deux solutions complexes conjuguées
z1 = ..... et z2 = ...
...
f(z) -8 = z²+2z+9 -8 = (z+1)²
module de (z+1)² = 3 correspond à un cercle de ......
....
5 b) 2xy + 2y = 0
soit 2y(x+1) =0
donc comme un produit de facteur est nul si et seulement si .....
y = 0 et x+1 = 0
Soit y = 0 et x = ..... (équations de droites)

Pour le 3)je me sui tromper dans ma rédaction de l'énnce en fait il faut déterminer les valeurs de λ

f(z) = λ équivalent à z²+2z+9-λ=0
calcul du discriminant delta = 4-4(9-λ) = 4λ-32
si 4λ-32 < 0, l'équation admet deux solutions complexes conjuguées

donc 4λ<32 donc λ prend les valeurs 0,1,2,3,4,5,6 et 7 soit 0≤λ<8

pour le 4) f(z)-8 = z²+2z+9-8 = z²+2z+1 = (z+1)²
module de (z+1)² = 3 correspond à un cercle de Ω(-1;0) et de rayon √3
(je ne sais pas pour cette question)

5b) 2xy + 2y = 0 (je voudrais des explications pourquoi 2xy+2y=0)
soit 2y(x+1) =0
donc comme un produit de facteur est nul si et seulement si .....
y = 0 et x+1 = 0
Soit y = 0 et x =-1(équations de droites)

j'ai oublier d'écrire aussi la question 6) qui est déterminer le point d'intersections des ensembles (E) et (F)

Comment doit-on s'y prendre pou trouver cela ?

(z-a)² = r² est l'équation complexe d'un cercle de centre C(a;0) et de rayon r.
f(z) est réel si sa partie imaginaire est nulle donc 2xy + 2y = 0

pour la question 6) déterminer le point d''intersection des ensembles (E) et (F)

j'ai fait :

(E) : x² - y² +x +9 + i(2x + 2y)
(F) : x² - y² +x +1 + i(2x + 2y)

Est-ce qu'il faut faire comme le point d'intersection d'une droite
Si oui, comment mettre sous la forme y = -a/bx -c/b ?

Vérifie l'écriture des ensembles
(E) : x² -y²+2x+9 = 0
(F) : x²+y²+2x - 2 = 0

Résous (E) = (F)

Ok merci

(F) = x² - y² + 2x - 2 = 0 non ? n'y a-t-il pas une erreur car (z+1)² = 3
et donc
z² + 2z + 1 = 3
⇔ (x+iy)² + 2(x+iy) -2 = 0
⇔ x² + 2xiy -y² + 2x +2iy - 2 = 0
⇔ x² - y² + 2x - 2 + i(2xy + y) = 0

et comme la partie imaginaire est nulle alors (F): x² - y² + 2x - 2 = 0

si ce n'est pas le cas alors

(E) = (F)
⇔ x² - y² + 2x + 9 = x² + y² + 2x -2
⇔ x² -2y² + 2x + 9 = x² + 2x -2
⇔ -2y² + 2x + 9 = 2x - 2
⇔ -2y² + 2x = -11
⇔ -2y² = -11
⇔ 2y² = -11
⇔ y² = 11
⇔ y = √11

Est-ce bon ? Si ce n'est pas le cas comment fait-on ? Et pourrais-je avoir la méthode pour résoudre ce genre de chose car je cherche sur internet et je ne trouve pas

Merci d'avance

⇔ x² - y² + 2x + 9 = x² + y² + 2x -2
⇔ -2y² + 9 = -2
⇔ 2y² = 11
⇔ y² = 11/2
⇔ y = +√(11/2) ou -V(11/2)