Démonstration par récurrence par rapport à une suite

Bonjour à tous je suis nouveau sur ce forum que je viens de découvrir, et je viens donc demander votre aide pour un devoir maison.

Je bloque complètement sur un exercice, voici les données:

U(n)= (1/1^3)+(1/2^3)+(1/3^3)+...+(1/n^3)

a) Montrer par récurrence que ∀n ∈ N* , U(n) ≤ 2-(1/n)

b) En déduire un majorant de (Un) puis que (Un) converge.

Voilà, j'espère que me lisant vous prendrez le temps de m'aider !

Merci d'avance à celui ou celle qui y arrivera

Bonsoir Barnabiesch,

Comment procéder tu pour une démonstration par récurrence ?

Et bien tout d'abord j'initialise:

Initialisation:

U(1) = 1
2-(1/1)= 1

1≤1 donc P(1) est vraie.

Mais le problème est pour l'hérédité:

On suppose que P(n) est vraie, càd U(n) ≤ 2-(1/n)

On cherche à montrer que U(n+1) est vraie: U(n+1) ≤ 2-(1/(n+1))

C'est là que je ne trouve pas...

Et bien tout d'abord j'initialise:

Initialisation:

U(1) = 1
2-(1/1)= 1

1≤1 donc P(1) est vraie.

Mais le problème est pour l'hérédité:

On suppose que P(n) est vraie, càd U(n) ≤ 2-(1/n)

On cherche à montrer que U(n+1) est vraie: U(n+1) ≤ 2-(1/(n+1))

C'est là que je ne trouve pas...

u(n+1) = U(n) + 1/(n+1)³
≤ 2 +1/(n+1)³ - 1/n

Pouvez-vous m'expliquer d'où sort le "+1/(n+1)³" svp?

ah oui enfait je vois ^^

Compare U(n) et U(n+1) , le terme suivant

U(n+1)= U(n) + 1/(n+1)³
d'où U(n) < U(n+1)

Mais en quoi cela m'aide-t-il à prouver l'hérédité?

Pour l'hérédité, tu dois poursuivre le raisonnement :
u(n+1) = U(n) + 1/(n+1)³
≤ 2 +1/(n+1)³ - 1/n
....

pour parvenir à
u(n+1) ≤ 2 -1/(n+1)

En mettant au même dénominateur, j'obtiens:

U(n+1) ≤ 2 + (n-(n+1)³) / n(n+1)³

Suis-je sensé tout développer? n'y a-t-il pas un moyen d'éviter le développement?

Il faut développer pour pouvoir minorer l'expression.

En gros il faut que j'arrive à montrer que :

2 + (n-(n+1)³) / n(n+1)³ ≤ 2 - 1/(n+1)

C'est ça?

Mais non enfait c'est absurde ce que je viens d'écrire..

Non,

C'est bien ce qu'il faut démontrer.

Mais ce que j'ai écrit juste avant, ce n'est pas une majoration?
Vous me parliez de trouver une minoration non?

Tu minores la partie à soustraire.

Je vois ou vous voulez en venir.. Enfin, je crois

Indique tes calculs

on a donc:
u(n+1) ≤ 2+ 1/(n+1)³ - 1/n
⇔u(n+1) ≤ 2+ (n-(n+1)³) / n(n+1)³

On cherche donc à montrer que

2 + (n-(n+1)³) / n(n+1)³ ≤ 2 - 1/n
⇔ (n-(n+1)³) / n(n+1)³ ≤ -1/n

est ce que je suis bien parti ?

on a donc:
u(n+1) ≤ 2+ 1/(n+1)³ - 1/n
⇔u(n+1) ≤ 2+ (n-(n+1)³) / n(n+1)³

On cherche donc à montrer que

2 + (n-(n+1)³) / n(n+1)³ ≤ 2 - 1/(n+1)
(n-(n+1)³) / n(n+1)³ = -(n³+3n²+2n+1)/n(n+1)³
= -1/(n+1)(n³+3n²+2n+1)/(n³+2n²+2n)
qui est
≤ -1/(n+1) car pour n ∈ N , (n³+3n²+2n+1)>(n³+2n²+2n)

Bien vu !

Merci Beaucoup pour votre aide, je pense que j'arriverai à faire la suite