convergence d'une série
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Bonjour bonjour,
Voici un exercice donné à un 1ère S de Louis-le-Grand pour lequel je ne vois pas comment m'y prendre.
Pour n>0, on donne Un = 1 + 1/√2 + 1/√3 + ...... + 1/√n
Montrer que ∀n>0, Un ≤ √(n+1) + √n
En déduire que Vn = Un/√n est croissante et convergente.
Des idées ?
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mtschoon dernière édition par zipang
Bonjour Thierry,
Je suppose que c’est la première partie qui pose problème.
Bien sûr, une récurrence conviendrait, mais en 1S, ce n’est peut-être pas vu.
Une méthode directe possible (esprit "prépa"…on commence tôt à Louis le Grand !) : majorer 1k\frac{1}{\sqrt k}k1 et sommer.
1k=22k=2k+k\frac{1}{\sqrt k}=\frac{2}{2\sqrt k}=\frac{2}{\sqrt k+\sqrt k}k1=2k2=k+k2
Donc :
1k<2k+k−1\frac{1}{\sqrt k}\lt \frac{2}{\sqrt k+\sqrt{k-1}}k1<k+k−12
Or
2k+k−1=2(k−k−1)(k+k−1)(k−k−1)=2(k−k−1)\frac{2}{\sqrt k+\sqrt{k-1}}=\frac{{2}(\sqrt k-\sqrt{k-1})}{(\sqrt k+\sqrt{k-1})(\sqrt k-\sqrt{k-1})}= 2(\sqrt k-\sqrt{k-1})k+k−12=(k+k−1)(k−k−1)2(k−k−1)=2(k−k−1)
Donc
$\fbox{\frac{1}{\sqrt k}\lt 2(\sqrt k-\sqrt{k-1})}$
En sommant de 1 à n ( et en éliminant avec la méthode classique ), on doit trouver :
∑k=1k=n1k<2n\displaystyle\sum_{k=1}^{k=n}\frac{1}{\sqrt k}\lt 2\sqrt nk=1∑k=nk1<2n
Vu que 2n<n+n+12\sqrt n \lt \sqrt n+\sqrt{n+1}2n<n+n+1
$\fbox{\displaystyle\sum_{k=1}^{k=n}\frac{1}{\sqrt k}\lt \sqrt n+\sqrt{n+1}}$
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Bien vu merci.
J'avais aussi tenté par récurrence...
