convergence d'une série


  • Thierry
    Modérateurs

    Bonjour bonjour,

    Voici un exercice donné à un 1ère S de Louis-le-Grand pour lequel je ne vois pas comment m'y prendre.

    Pour n>0, on donne Un = 1 + 1/√2 + 1/√3 + ...... + 1/√n

    Montrer que ∀n>0, Un ≤ √(n+1) + √n

    En déduire que Vn = Un/√n est croissante et convergente.

    Des idées ?


  • mtschoon

    Bonjour Thierry,

    Je suppose que c’est la première partie qui pose problème.

    Bien sûr, une récurrence conviendrait, mais en 1S, ce n’est peut-être pas vu.

    Une méthode directe possible (esprit "prépa"…on commence tôt à Louis le Grand !) : majorer 1k\frac{1}{\sqrt k}k1 et sommer.

    1k=22k=2k+k\frac{1}{\sqrt k}=\frac{2}{2\sqrt k}=\frac{2}{\sqrt k+\sqrt k}k1=2k2=k+k2

    Donc :

    1k<2k+k−1\frac{1}{\sqrt k}\lt \frac{2}{\sqrt k+\sqrt{k-1}}k1<k+k12

    Or

    2k+k−1=2(k−k−1)(k+k−1)(k−k−1)=2(k−k−1)\frac{2}{\sqrt k+\sqrt{k-1}}=\frac{{2}(\sqrt k-\sqrt{k-1})}{(\sqrt k+\sqrt{k-1})(\sqrt k-\sqrt{k-1})}= 2(\sqrt k-\sqrt{k-1})k+k12=(k+k1)(kk1)2(kk1)=2(kk1)

    Donc

    $\fbox{\frac{1}{\sqrt k}\lt 2(\sqrt k-\sqrt{k-1})}$

    En sommant de 1 à n ( et en éliminant avec la méthode classique ), on doit trouver :

    ∑k=1k=n1k<2n\displaystyle\sum_{k=1}^{k=n}\frac{1}{\sqrt k}\lt 2\sqrt nk=1k=nk1<2n

    Vu que 2n<n+n+12\sqrt n \lt \sqrt n+\sqrt{n+1}2n<n+n+1

    $\fbox{\displaystyle\sum_{k=1}^{k=n}\frac{1}{\sqrt k}\lt \sqrt n+\sqrt{n+1}}$


  • Thierry
    Modérateurs

    Bien vu merci.

    J'avais aussi tenté par récurrence...


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