factorielle, suites adjacentes et limite irrationnelle

[Thierry]

Hello,

Un autre exercice qui me dépasse...

$u_n={\sum }_{k=0}^n\frac{1}{k!}$
et
$v_n=u_n+\frac{1}{n.n!}$

1. Montrer que $u_n$ et $v_n$ sont adajacentes.

(Ca c'est bon je connais.)

2. Montrer que leur limite commune est irrationnelle.
   Indication :on suppose l=p/q on a $u_q$ ≤ p/q ≤ $v_q$

(Je ne suis même pas sûr de comprendre l'indication !)

Des idées pour la question 2 ?

[Noemi]

Bonsoir Thierry,

Démonstration par l'absurde :
$u_q$ ≤ p/q ≤ $v_q$
$u_q$ peut s'écrire a/q! avec a entier
l'inégalité devient
a/q! ≤ p/q≤ a/q! + 1/qq!
a q≤ pq! ≤ a q+ 1
d'ou la conclusion

[Thierry]

Merci.

Apparemment c'est une technique à retenir d'encadrer un nombre entier entre 2 entiers consécutifs...