Arithmétique (congruence divisibilité, division euclidienne)



  • Bonjour 🙂 je suis en terminale S en spé math, voilà je suis bloquée sur les questions 1.c 1.d et 2.a et 2.b j'ai vraiment besoin d'aide merci de votre compréhension voici l'énoncé:

    Dans tout l'exercice, n désigne un entier naturel non nul.
    1.a). Pour 1 ≤ n ≤ 6, calculer les restes de la division euclidienne de 3^n par 7.
    b) Démontrer que, pour tout n, 3^(n+6)- 3^n est divisible par 7. En déduire que 3^n et 3^(n+6) ont le même reste dans la division par 7.
    c) À l'aide des résultats précédents, calculer le reste de la division euclidienne de 3^1 000 par 7.
    d) De manière générale, comment peut-on calculer le reste de la division euclidienne de 3^n
    par 7, pour n quelconque ?

    1. Soit Un = 1 +3 + 3^2+ ... +3^(n-1)=(en haut de la somme c'est i=n-1 et en bas c'est i=0)∑3^i, où n est un entier naturel supérieur ou égal à 2.
      a) Montrer que si Un est divisible par 7 alors (3^n) -1 est divisible par 7.
      b) Réciproquement, montrer que Si (3^n)-1 est divisible par 7 alors Un est divisible par 7.
      En déduire les valeurs de n telles que Un soit divisible par 7.
      Merci d'avance 🙂

  • Modérateurs

    Bonsoir lilali600,

    C'est 3n ou 3n3^n ?
    Quels restes as tu trouvé pour la division euclidienne de 3n3^n par 7 ?



  • c'est 3 exposant n j'ai modifié


  • Modérateurs

    Et les restes ?



  • Bonjour 🙂 je suis en terminale S en spé math chapitres sur la divisibilité, division euclidienne, congruence, voilà je suis bloquée sur les questions 1.c 1.d et 2.a et 2.b j'ai vraiment besoin d'aide merci de votre compréhension voici l'énoncé:

    Dans tout l'exercice, n désigne un entier naturel non nul.
    1.a). Pour 1 ≤ n ≤ 6, calculer les restes de la division euclidienne de 3n3^n par 7.

    b) Démontrer que, pour tout n, 33^{n+6}3n-3^n est divisible par 7. En déduire que 3n3^n et 3n+63^{n+6} ont le même reste dans la division par 7.

    c) À l'aide des résultats précédents, calculer le reste de la division euclidienne de 310003^{1000} par 7.

    d) De manière générale, comment peut-on calculer le reste de la division euclidienne de 3n3^n
    par 7, pour n quelconque ?

    1. Soit Un = 1 +3 +32+3^2+ ... +3n1+3^{n-1}= (en haut de la somme c'est i=n-1 et en bas c'est i=0) ∑ 3i3^i, où n est un entier naturel supérieur ou égal à 2.

    a) Montrer que si Un est divisible par 7 alors 3n3^n -1 est divisible par 7.
    b) Réciproquement, montrer que Si 3n3^n -1 est divisible par 7 alors Un est divisible par 7.
    En déduire les valeurs de n telles que Un soit divisible par 7.
    Merci d'avance 🙂


  • Modérateurs

    Pour la question c) il faut utiliser les résultats des question a et b.



  • 1000=142*7+6 donc 1000 congru 6 (7) c'est ça ?


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