Arithmétique (congruence divisibilité, division euclidienne)

Bonjour je suis en terminale S en spé math, voilà je suis bloquée sur les questions 1.c 1.d et 2.a et 2.b j'ai vraiment besoin d'aide merci de votre compréhension voici l'énoncé:

Dans tout l'exercice, n désigne un entier naturel non nul.
1.a). Pour 1 ≤ n ≤ 6, calculer les restes de la division euclidienne de 3^n par 7.
b) Démontrer que, pour tout n, 3^(n+6)- 3^n est divisible par 7. En déduire que 3^n et 3^(n+6) ont le même reste dans la division par 7.
c) À l'aide des résultats précédents, calculer le reste de la division euclidienne de 3^1 000 par 7.
d) De manière générale, comment peut-on calculer le reste de la division euclidienne de 3^n
par 7, pour n quelconque ?
2. Soit Un = 1 +3 + 3^2+ ... +3^(n-1)=(en haut de la somme c'est i=n-1 et en bas c'est i=0)∑3^i, où n est un entier naturel supérieur ou égal à 2.
a) Montrer que si Un est divisible par 7 alors (3^n) -1 est divisible par 7.
b) Réciproquement, montrer que Si (3^n)-1 est divisible par 7 alors Un est divisible par 7.
En déduire les valeurs de n telles que Un soit divisible par 7.
Merci d'avance

Bonsoir lilali600,

C'est 3n ou $3^n$ ?
Quels restes as tu trouvé pour la division euclidienne de $3^n$ par 7 ?

c'est 3 exposant n j'ai modifié

Et les restes ?

Bonjour je suis en terminale S en spé math chapitres sur la divisibilité, division euclidienne, congruence, voilà je suis bloquée sur les questions 1.c 1.d et 2.a et 2.b j'ai vraiment besoin d'aide merci de votre compréhension voici l'énoncé:

Dans tout l'exercice, n désigne un entier naturel non nul.
1.a). Pour 1 ≤ n ≤ 6, calculer les restes de la division euclidienne de $3^n$ par 7.

b) Démontrer que, pour tout n, $3$ ^{n+6} $3^n$ est divisible par 7. En déduire que $3^n$ et $3^{n+6}$ ont le même reste dans la division par 7.

c) À l'aide des résultats précédents, calculer le reste de la division euclidienne de $3^{1000}$ par 7.

d) De manière générale, comment peut-on calculer le reste de la division euclidienne de $3^n$
par 7, pour n quelconque ?
2. Soit Un = 1 +3 $3^2$ + ... $3^{n-1}$ = (en haut de la somme c'est i=n-1 et en bas c'est i=0) ∑ $3^i$ , où n est un entier naturel supérieur ou égal à 2.

a) Montrer que si Un est divisible par 7 alors $3^n$ -1 est divisible par 7.
b) Réciproquement, montrer que Si $3^n$ -1 est divisible par 7 alors Un est divisible par 7.
En déduire les valeurs de n telles que Un soit divisible par 7.
Merci d'avance

Pour la question c) il faut utiliser les résultats des question a et b.

1000=142*7+6 donc 1000 congru 6 (7) c'est ça ?

En plus de la congruence, il est possible d'utiliser le raisonnement salim en s'aidant du binôme de Newton pour trouver le reste. Si le nombre à diviser est sous la forme d'une puissance, on peut retrouver une forme dans le nombre à la puissance du type "(nombre par lequel on divisea+b)^X", avec ça on peut développer grâce au binôme de Newton, et justement c'est là qu'il est intéressant car on sait que l'on retrouvera des multiples du nombre par lequel on diviser sur cette somme (donc reste 0), sauf le dernier qui est donc "b^X". Or, en répétant ce processus jusqu'à ne plus avoir de puissance, on retrouvera alors le reste, les autres parties de la somme étant des multiples du nombre par lequel on divise.
Et si le nombre que l'on divise, n'a pas, en dessous de la puissance, comment être converti sous la forme susnommée "(nombre par lequel on divisea+b)^X" ; alors il est possible de simplifier la puissance jusqu'à réussir à arriver à cette forme.

J'espère que ce raisonnement salim pourrait t'être utile même s'il est plus long que la récurrence.

Par exemple pour ton exemple

Exemple on a: 2011^{2012} par [7]

on a 2011 = 2877+2 donc avec ça on peut appliquer le binôme de Newton et on aura donc en développant et en simplifiant
7Q + 2^2012 (Q étant une part du quotient)
on simplifie alors la puissance : 2012 = 5034
Donc on a 7Q + 2^4^503
or 2^4 = 16 = 72+2 donc on aura comme nouvelle forme

7*Q2 + 2^503 (Q2 étant une nouvelle part du quotient défini) et ainsi de suite

Par contre, si comme ici, tu es bloqué avec une puissance sous la forme d'un nombre premier alors on simplifie en passant de 2^503 à 2^502 * 2 et ensuite on réutilise le même processus