Exercice : Probabilités

[blancheneige]

Bonjour, je voudrais que vous me vérifiez mon exercice svp, merci :

Une entreprise fabrique des parfums haut de gamme, qui seront appelés par la suite "originaux". Il existe sur le marché des contrefaçons qui seront appelées par la suite "copies". On sait que 0,5% des flacons proposés à la vente sont des copies.
Pour éliminer ces copies, l'entreprise a mis au point un test optique permettant, sans rompre le ruban de garantie, de se faire une opinion concernant la conformité du produit. On sait que :

• la probabilité que le test soit positif (c'est-à-dire qu'il indique qu'il s'agit d'une copie) sachant que le produit est une copie, est 0,85.
• la probabilité que le test soit négatif sachant que le produit est original est 0,95.
  On tire un flacon au hasard et on le soumet au test.

1. Montrer que :
   a) la probabilité que le produit soit un original est égal à 0,995 ;
   b) la probabilité que le test soit positif sachant que le produit est un original est 0,05.

2. Calculer la probabilité que :
   a) le produit soit une copie et le test positif ;
   b) le produit soit un original et le est positif ;
   c) le test positif ;
   d) le produit soit un original sachant que le test est positif ;
   e) le produit soit une copie sachant que le test est positif.

3. Exprimer brièvement votre opinion sur la fiabilité de ce test.

Copie = $formdata=a$ = 0.005 (0.5%)

• Positif = $formdata=d$ = 0.85
• Négatif = $formdata=$ = 0.15

Original = $formdata=$ = 0.995

• Positif = $formdata=d$ = 0.05
• Négatif = $formdata=$ = 0.95

Arbre pondéré :

a) $formdata=p$

b) p(D/Abarre) = (Abarre∩D)/p(Abarre) = (0.995 * 0.05)/0.9995 = 0.05

a) p(A∩D) = p(A) * p(D/A) = 0.005 * 0.85 = 4.25*10⁻³

b) p(Abarre∩D) = p(Abarre) * p(D/Abarre)
p(Abarre∩D) = 0.995 * 0.05
p(Abarre∩D) = 0.4975

c) p(D) = p(A∩Dbarre) + p(Abarre∩Dbarre)
p(D) = 0.005 * 0.85 + 0.995 * 0.95
p(D) = 0.9495

d) p(Abarre/D) = [p(Abarre∩D)]/p(D)
p(Abarre/D) = (0.995 * 0.05)/0.9495 = 0.0523

e) p(A/D) = 1 - 0.0523 = 0.9477

3. Les valeurs de ce test ne sont pas exactes. Donc le test est peu fiable.

[blancheneige]

??

[Noemi]

Bonsoir blancheneige,

2. b) une erreur de calcul 0,04975,
   vérifie la question c)
   puis les question d) et e)