Fonction exponentielle et dérivation

[seb1510]

Bonsoir, j'ai deux exercice impossible pour moi, à vous présenter :

Ex 1 : f définie sur IR par : f(x) = (x² + $x-1)e^x$
On note f^(1) = f', f^(2) = f''

1. Calculer pour tout réel x, f' et f''.
2. Démontrer par récurrence que pour tout entier n>= 1,
   f^(n) = x²$+a$n$x+b$n$)e^x$ avec $a</em>n+1$ = $a_n$+2
   et $b</em>n+1$ = $a$_n$+b_n$
3. On se propose dans cette question d'exprimer an et bn en fonction de n.
   a) Quelle est la nautre de la suite (an) ? En déduire an en fonction de n pour tout entier n>=1.
   b)Vérifier que pour tout n>=1: bn= $a${an-1}$+a</em>n-2$+...$+a$_2$+a_1$
   En déduire $b_n$ en fonction de n pour tout entier n>=1
   Merci de votre aide..

[mtschoon]

Bonjour,

Merci de nous dire ce que tu as commencé à faire.

Où bloques-tu ?

Je te donne les expressions de $f^{(1)}$(x) et de $f^{(2)}$(x) pour que tu puisses vérifier tes calculs ( utilise la dérivée d'un produit)

$f^{(1)}(x)=(x^2+3x)e^x$

$f^{(2)}(x)=(x^2+5x+3)e^x$

Tiens nous au courant.

[seb1510]

J'ai trouvé la même chose ! Mais c'est plus sur la récurrence que je suis perdu, sur comment faire l'hérédité et même l'initialisation. Car sans avoir Un+1 ni U0 de bn et an je sais pas que faire... help

[mtschoon]

C'est donc la récurrence de la 2) qui te pose problème.

Piste,

Initialisation

Utilise les calculs faits à la première question.

Tu constates que

$\text{a_1=3 et b_1=0 \ a_2=5 et b_2=3$

Donc,

$\text{a_2=a_1+2 et b_2=a_1+b_1$

L'initialisation est bien réalisée.

Hérédité

Hypothèse à un ordre n (n ≥ 1) :
$f^{(n)}(x)=(x^2+a_{n}x+b_n)e^x$

Il faut démontrer la propriété à l'ordre (n+1), c'est à dire que :
$f^{(n+1)}(x)=(x^2+a_{n+1}x+b_{n+1})e^x$
avec
$\left{a_{n+1}=a_{n}+2\ \ b_{n+1}=a_{n}+b_{n}\right$

Principe pour démarrer la démonstration :

$\text{f^{(n+1)} est la derivee de f^{(n)}$

Tu dérives donc $f^{(n)}(x)$ en utilisant la dérivée d'un produit et tu obtiens $f^{(n+1)}(x)$

Essaie et reposte si tu bloques.