Intersection de tangentes et fonction exponentielle

[Jeanlouisdu37]

Bonjour,
Pouvez-vous m'aider à résoudre cette démonstration

On a $f(x)=\frac{e^{1+x}+e^{1-x}}{2}$ et $g(x)=\frac{e^{1+x}-e^{1-x}}{2}$
De plus, on nous donne, pour tout a∈R A(a;f(a)) et B(a;g(a))
$M(x_M$;$y_M$) représente l'intersection de la tangente en A et de la tangente en B

On doit montrer que le lieu L du point M fait partie de C qui équivaut à la courbe C représentative de la fonction exponentielle. C'est à dire que si $M(x_M$;$y_M$) ∈ L alors M ∈ C

Merci d'avance

[mtschoon]

Bonjour,

Il faut te lancer dans les calculs !

$f^{\prime }(x)=\frac{e^{1+x}-e^{1-x}}{2}$

$g^{\prime }(x)=\frac{e^{1+x}+e^{1-x}}{2}$

Equation de la tangente $(T_A$): $y=f^{\prime }(a)(x-a)+f(a)$

Equation de la tangente $(T_B$): $y=g^{\prime }(a)(x-a)+g(a)$

$x_M$ vérifie donc :

$f^{\prime }(a)(x_m-a)+f(a)=g^{\prime }(a)(x_m-a)+g(a)$

Tu remplaces f(a) , f'(a), g(a) , g'(a) par leurs expressions.

Tu développes, transposes, etc, et tu dois trouver $x_m=1+a$

Ensuite, Dans $T_A$ ( ou $T_B$) tu remplaces $x_M$ par 1+a

Après calculs et simplifications , tu dois trouver :

$y_m=e^{1+a}$

D'où la réponse.

Bons calculs !

[Jeanlouisdu37]

Je suis bloqué au niveau de la simplification de la différence des equations des deux tangentes.
J'arrive à :

$e$^{1-a}$(x_M$+a+1)

Est-ce le bon resultat? Et comment le simplifier?

En tout cas merci beaucoup de votre aide

[mtschoon]

$<strong>e$^{1-a}$(x_M$+a+1) ne veut rien dire car il n'y a pas d'égalité...

[Jeanlouisdu37]

Oups j'avais oublié "=0"
Désoler

[mtschoon]

Tu devrais revoir les signes.

Vu que $e^{1-a}$≠0 , il te reste $x_M$+a+1=0 , c'est à dire $x_M$=-1-a

Je n'ai plus mes brouillons, mais il a trois jours, j'avais trouvé $x_M$=1+a

Alors, à vérifier.

[Jeanlouisdu37]

C'est bon j'ai trouvé mon erreur, on obtient bien $x_M$=1+a
Et $y$_M$=e^{1+a}$
Mais je ne sais pas trop comment rédiger ma conclusion..

[mtschoon]

Relis les notations utilisées dans l'énoncé.

Au départ : M ∈ L

Soit $h(x)=e^x$ et C la représentation graphique de h

Tu viens de démontrer que $x_m=1+a$ et que $y_m=e^{1+a}$, donc

M ∈ (C)

Bilan : M ∈ L=> M ∈ C

Donc L ⊂ C