Problème sur logarithme

Salut,

Je n'arrive pas à faire mon exercice pouvez-vous m'aider? svp

Voici l'énoncé

f est la fonction définie sur ]0;+∞[ par : f(x) = 1/x - ln(x)

1a) Etudier les limites de f en 0 et en +∞

b) Etudier le sens de variation de f

On admet que f(x) = 0 admet une solution sur ]0;+∞[

Vérifier que 1,7< x0 >1,8

(D) est la tangete à C au point d'absicce 1

a) déterminer une équation de (D). Ecrire cette équation sous la forme y = ax + β

b) Etudier le sens de variation de la fonction φ définie sur ]0 ; +∞[ par :
φ(x)= f(x) - (αx + β)

c) en déduire la position de la courbe C par rapport à la droite (D)

J'ai fait:

1a) lorsque x tend vers 0
lim 1/x = Fonction indéfinie et lim -ln(x) = Fonction indéfinie donc lim f(x) = Fonction indef

Lorsque x tend vers +∞

lim f(x) = -∞

b) Pour déduire le sens de variation j'ai utiliser la dérivé f'(x) = -1/x² -1/x et j'ai cherché les solution pour f'(x) = 0 ce qui x=-1 après j'ai utilisé les limites pour délimiter le sens de la fonction

ainsi j'ai f(x) décroissante sur ]0;+∞[ et croissante sur ]-∞;0[
Faut-il faire un tableau de variation ?

Pour le reste je n'est pas compris comment faire

Merci pour vos réponses

Bonjour moh18

Si x tend vers 0+, 1/x tend vers +∞, lnx tend vers -∞, soit -lnx tend vers +∞
donc f(x) tend vers .....

Pour la b tu peux faire le tableau de variation.
Attention la fonction n'est définie que pour x > 0.

Question 2, utilise le tableau de variation et un théorème, puis la calculatrice.

Pour la 2)

j'ai dit que la la fonction f(x) est continue et strictement décroissante sur ]0;+∞[

donc pour tous réel x de ]-∞;+∞[ f(x) admet une solution et une seule solution dans ]0;+∞[

En particulier f(x) = 0 admet une unique solution dans ]0;+∞[

Donc à la calculatrice f(1,7) ≈ 0,05 > 0 et f(1,8) ≈ -0,03 < 0 donc f(1,8) > f(x0) > f(1,7) et comme f(x) est strictement décroissante sur ]0;+∞[

alors 1,7 > x0 > 1,8

Est-ce bon ?

Pouvez vous m'aidez pour les autres question svp ?
je n'est vraiment rien compris

Il faut préciser que si x varie de 0 à +∞, f(x) varie de -∞ à +∞.

Equation de la tangente y = f'(x0)(x-x0) + f(x0)

pour le 3) ,
a)
(D) : y = f'(x0) (x-x0) + f(x0)
= f'(1) (x - 1) + f(1)
= -2 (x - 1) + 1
= -2x + 2 + 1 = -2x + 3

b) est-ce qu'il faut faire lim en 0 et +∞ , tableau de variation, dérivée un peu comme le 1a) et 1b) ?

c) Est-ce qu'il faut faire le dérivé de φ(x) pour savoir quand c'est strictement positif ou négatif etc ? pour dire si la tangente est dessus ou en-dessous

Merci pour vos réponses

L'équation de la tangente est juste.

Etudie les variations comme pour la question 1b.