Montrer qu'une vecteur est directeur d'une droite

Bonsoir, j'ai quelques exercices à faire à la maison, en voici ms réponses, j'aurai cependant besoin d'une aide.

Soit m un réel et (dm) une droite d'équation m²x-(m-1)y-1=0

Question 1. : Pour quelles valeurs de m le vecteur u(1;4) est-il un vecteur directeur de la droite (dm)?

Ma réponse :

Soit (dm) une droite d'équation m²x-(m-1)y-1=0 de la forme ax+by+c ( où a,b et c sont des réels avec a ≠ 0 et b ≠ 0), et un vecteur u(-b;a) de coordonnées u(1;4), nous obtenons ainsi les informations suivantes :

a=m²
Remplaçons a :
4=m²
m=2

et

b=-(m-1)
-b=(m-1)
Remplaçons b:
1=(m-1)
m=2

Ici, m n'admet donc qu'une seule solution : m=2

Est-ce bien cela?

Bonsoir,

(Je viens de te rectifier quelques fautes de frappe...)

Ta réponse est bonne mais la méthode laisse à désirer.

$u⃗(m−1,m2)\vec{u}(m-1,m^2)$ est un vecteur directeur de la droite.

$v⃗(1,4)\vec{v}(1,4)$ est un autre vecteur directeur de la droite.

Ces deux vecteurs doivent être colinéaires

Utilise la méthode de ton cours.

Tu peux le faire avec le déterminant des deux vecteurs, si tu connais.

Sinon, tu le fais avec la définition de vecteurs colinéaires.

$u⃗=kv⃗\vec{u}=k\vec{v}$

$\left{m-1=k(1)\m^2=k(4)\right$

En éliminant k :

$m^2=(m-1)4$

En transformant ( identité remarquable) , tu trouveras effectivement m=2

(voici ma réponse avec le calcul non rédigé pour avoir une idée)

Soit une droite d'équation ax + by + c = 0. Alors le vecteur v(-b ; a) est un vecteur directeur de cette droite.

La droite (dm) a pour équation m²x - (m-1)y - 1 = 0. D'après le théorème, le vecteur v ( (m-1) ; m² ) est un vecteur directeur de cette droite.

u est colinéaire à v si et seulement si il existe un réel k tel que v = k * u

Et donc u et v sont colinéaire si :

m-1 = k
m² = 4k

admet une solution m.

m-1 = k
m² = 4k

m-1 = k
k = m²/4

m-1 = m²/4
m-1 = k

m²/4 - m + 1 = 0
m-1 = k

On résout alors l'équation "m²/4 - m + 1 = 0"

On calcul le discriminant :

Discriminant = 1 -4*(1/4)1 = 0
Il existe une seule solution m = 1 /(21/4) = 2, où k = 1.

ça peut aller mais c'est bien lourd.

Tu as :
m-1 = k
m² = 4k

Remplace k par (m-1) dans la seconde équation :

m²=4(m-1)

En transposant :

m²-4m+4=0 <=> (m-2)²=0 <=>m-2=0 <=> m=2

Merci beaucoup de votre aide! J'ai une toute dernière question!

Je viens de répondre à mon ultime question, est bien cela s'il vous plait?

La droite (dm) peut elle etre parallèle á la droite (D) d'équation: 5x-3y+4=0 ?

Soit (dm) une droite d'équation m²x-(m-1)y-1=0 et de vecteur directeur ((m-1);m²), et (D) une droite d'équation 5x-3y+4=0 de vecteurs (3;5), (dm) et (D) sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeur sont colinéaires.

Testons la condition de colinéarité :

(xy')-(x'y)=0
5(-(m-1))-m²(-3)=0
5(-m+1)+3m²=0
3m²-5m+5=0

Cela me suffit-il pour prouver qu'elles ne sont pas parallèles?

Remarque : si tu connais la méthode du test de colinéarité (je t'avais parlé de déterminant, mais c'est pareil), tu aurais pu l'utiliser à la question précédente ( pour trouver m=2 ) ; cela aurait été plus rapide que de passer par k

Pour répondre à ta question présente :

A partir de 3m²-5m+5=0 , il faut résoudre cette équation du second degré d'inconnue m.

Si Δ < 0, tu pourras affirmer qu'il n'y a pas de valeur de m pour laquelle les deux droites sont parallèles.

Calcul du discriminant :

a=3 b=-5 et c=5

Delta=b²-4ac

Application numérique :

25-453
25-60
=-35<0

Ici, Delta < 0, il n'y a donc aucune valeur de m pour laquelle les deux droites sont parallèles.

(J'avais utilisé la même méthode que celle de ma leçon -en utilisant k- voilà pourquoi ça m'a paru moins hésitant à faire!)

La méthode avec k est très bien aussi !

Δ vaut bien -35, donc tout est bon.

Je vous remercies de votre aide!

De rien !

A+