Récurrence louche??

[Veitchii]

Bonjour,

Bon j'm'entraine actuellement pour un DS type bac demain, et je suis tombé sur un exo faisable mais une récurrence bizarre...

Voici l'énoncé :

Soit Un définie sur l'ensemble des entiers naturels N par

$U_0$ = 2
$U_{n+1}$ = $1/5U_n$ + 3 * 0,$5^n$

1. a. Recopier et, à l'aide de la calculatrice, compléter le tableau des valeurs de la suite $U_n$ approchés à $10^{-2}$ près :

Cette question, ça va pas trop compliqué.
$U_0$ = 2
$U_1$ = 3,4
$U_2$ = 2,18
$U_3$ = 1,19
$U_4$ = 0,61

2. a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul on a :

$U_n$ ≥ 15/4 * 0,$5^n$

1. Initialisation
   Pour n = 1

$U_n$ ≥ 15/4 * 0,$5^n$
$U_1$ ≥ 15/4 * 0,$5^n$
3,4 ≥ 15/4 * 0,$5^1$
3,4 ≥ 1,875

Vrai pour n = 1

2. Hérédité :

On suppose que pour un certain k, $U_k$≥15/4 * 0,$5^k$
On veut montrer que, $U_{k+1}$≥15/4 * 0,$5^{k+1}$

Uk ≥ 15/4 * 0,$5^k$
1/5Uk > 1/5 * 15/4 * 0,$5^k$
1/5Uk + 3 * 0,$5^k$ ≥ 15/20 + 30,$5^k$ * 0,$5^k$
Uk+1 ≥ 15/4 + 30,$5^n$ * 0,$5^n$

C'est là que je bloque, je sais pas comment je peux passer de 0,$5^k$ * 0,$5^k$ à
0,$5^{k+1}$.

Comme c'est un sujet type BAC, j'ai regardé la correction et je ne comprends pas la correction.
Voici le lien : http://www.maths-france.fr/Terminale/TerminaleS/ProblemesBac/AnnalesThematiques/Suites/2014-antilles-guyane-exo4.pdf

Merci.

[Noemi]

Bonjour Veitchii,

Une erreur :
1/5Uk > 1/5 * 15/4 * 0,$5^k$
1/5Uk + 3 * 0,$5^k$ ≥ 15/200,$5^k$ + 30,$5^k$
Uk+1 ≥ 15/4 *0,$5^k$

[Veitchii]

Comment expliquer le passage de la 2nd ligne à la troisième je vois pas du tout

[Noemi]

15/200,$5^k$ + 30,$5^k$ =
(15/20 + 3)0,$5^k$ =
15/40,$5^k$

[Veitchii]

Seulement les parenthèses qui ont fait disparaitre le second 0,5^k ?

[Noemi]

C'est une factorisation.

[Veitchii]

Ok, merci.

La question suivante est :

En déduire que, pour tout entier naturel n non nul, Un+1 - Un ≤ 0

En gros, il s'agit ici de montrer que la suite est décroissante.

Je comprends en regardant la correction, mais mon problème est je ne sais pas comment m'y prendre. Mon professeur m'a dit tu dois faire Un+1 - Un et ensuite tomber sur un nombre entier qui lui, selon son signe, te donner le sens de variation de la suite. Cependant, ayant fait des exo's type BAC, il n'y en à aucun qui donne un nombre entier. Et si je regarde bien les corrigés, ils répondent grâce à la récurrence ect.. J'aimerai savoir si vous n'auriez pas une méthode bien précise pour trouver le sens de variation ou me faire part de votre astuce pour savoir si une suite est croissante ou non.

Merci bien

[Noemi]

Les méthodes les plus utilisées :
Etude du signe de $U_{n+1}$ - $U_n$ ou
du rapport $U$_{n+1}$/U_n$.