Trinôme second degré un peu spécial

Bonjour à tous,

J'ai un polynôme un peu spécial à résoudre, et je ne sais pas comment finir de le résoudre.

Voilà la source de mes malheurs : √(x²+2x-3) + 2=x

J'ai déterminé le domaine de définition ]-∞;-3]U[1;+∞[

Et là je bloque.
Merci de m'aider sur le chemin sinueux menant à la résolution de cet exercice.

Bonsoir geo2000

√(x²+2x-3) + 2=x
équivalent à
√(x²+2x-3) = x - 2

que tu élèves au carré.

[list]
Noemi
Bonsoir geo2000

√(x²+2x-3) + 2=x
équivalent à
√(x²+2x-3) = x - 2

que tu élèves au carré.

Merci beaucoup

Bonjour,

Je me permets un petit complément, pour éviter toute ambiguïté sur l'équivalence (seulement possible) entre $\text{\sqrt{x^2+2x-3}=x-2 \ et \ x^2+2x-3=(x-2)^2$

1er cas:

Pour x-2 < 0,c'est à dire x < 2
(c'est à dire x ∈ ]-∞;-3]U[1;2[),

l'équation $x2+2x−3=x−2\sqrt{x^2+2x-3}=x-2$ estimpossible car les deux membres ne sont pas de même signe.

Dans ce cas, l'élévation au carré n'est pas valable (les 2 équations ne sont pas équivalentes)

2ème cas:

Pour x-2 ≥ 0, c'est à dire x ≥ 2
(c'est à dire x ∈ [2,+∞[),

les deux membres de $x2+2x−3=x−2\sqrt{x^2+2x-3}=x-2$ sont positifs.

Dans ce cas, l'élévation au carré est valable (les 2 équations sont équivalentes)

L'équation x²+2x-3=(x-2)² a pour solution x=7/6

Or, 7/6<2, donc cette valeur ne convient pas car elle n'appartient pas au 2ème cas.

Bilan : l'équation $x2+2x−3=x−2\sqrt{x^2+2x-3}=x-2$
est impossible sur R.

Soit S l'ensemble des solutions de cette équation

$\fbox{s=\emptyset}$

*En bref, il faut faire très attention avant d'élever au carré. *