Montrer qu'une suite est décroissante - suites adjacentes

Bonsoir,

Voici un exo de suite sur un DM que je dois rendre vendredi et dont le début ça va mais la suite un peu complexe.

On dit que deux suite Un et Vn sont adjacentes si Un est croissante et Vn est décroissante et lim Vn-Un = 0

Soit Un et Vn deux suites adjacentes. On définit Wn par Wn = Vn-Un

Montrer que Wn est décroissante.

J'applique : Wn+1 - Wn = Vn+1 + Un+1 - (Vn - Un)
= Vn+1 + Un+1 -Vn + Un
= Vn+1-Vn + Un+1+Un

Vn+1-Vn < 0
Un+1+Un > 0

Wn est donc décroissante

J'ai bon?

Bonsoir,

Tu as fait des erreurs de signe à la dernière ligne et ton explication devient inexacte.

$w_{n+1}-w_n=(v_{n+1}-u_{n+1})-(v_n-u_n)$

$w_{n+1}-w_n=v_{n+1}-u_{n+1}-v_n+u_n$

$w_{n+1}-w_n=(v_{n+1}-v_n)-(u_{n+1}-u_n)$

$un+1−un≥0v_{n+1}-v_n \le 0 \ u_{n+1}-u_n \ge 0$

donc ....

Donc Un est décroissante je vois mon erreur.

En déduire que pour tout n ∈ N , Wn≥0

Je vois pas comment à partir de la question précédente je peux en déduire Wn≥0

Vu que $W_n$ ) est décroissante, pour tout n de N , $W_{n }$ ≥ $W_0$

$W$ _0 $= V$ _0 $U_0$

Si l'énoncé te donne les valeurs de $V_0$ et $U_0$ , calcule $W_0$ et tire la conclusion.

On ne me donne pas les valeurs de Vo et Uo, on me donne slmt leurs sens de variations, et Wn = Un - Vn

Autre explication possible (sans connaître $W_0$ ) : utilise la limite de $W_n$ )

Tu sais que la suite $W_n$ ) estdécroissante .

De plus , elle converge vers 0 car

$lim⁡n→+∞wn=lim⁡n→+∞(vn−un)=0\lim_{n\to +\infty}w_n= \lim_{n\to +\infty}(v_n-u_n)=0$

La suite $W_n$ ) est donc nécessairement à termes positifs.

Ok merci.

En déduire que les deux suites (Un) et (Vn) convergent et ont la même limite.

Donc d'après la question 1.

On a montré premièrement, que Vn+1 - Vn ≤ 0, ce qui signifie que la suite Vn est décroissante et qu'elle admet un minorant égale à 0. Donc elle converge.

On a montré ensuite toujours d'après la question 1. que Un+1 - Un ≥ 0, ce qui signifie donc que la suite Un est croissante et qu'elle admet un majorant égale à 0. Donc elle converge.

Les deux suites Un et Vn convergent et ont donc la même limite 0.

C'est bon ?

C'est bon pour prouver que les deux suites $U_n$ ) et $V_n$ ) convergent mais "elles ont donc la même limite 0" n'est pas bon.

Soit l la limite de (Un)
Soir l' la limite de (Vn)

Par définition $lim⁡n→+∞(un−vn)=0\lim_{n\to +\infty} (u_n-v_n)=0$

Donc : $l - l^{'} = 0$

Donc $l = l^{'}$

$\fbox{\lim_{n\to +\infty}u_n=\lim_{n\to +\infty}v_n}$

Les deux suites ont même limite (c'est ça la conclusion), mais cette limite ne vaut pas forcément 0.

Je te mets un exemple:

$vn=1+1nu_n=1-\frac{1}{n} \ v_n=1+\frac{1}{n}$

Tu peux prouver que ces deux suites sont convergentes.

Dans cet exemple :

$lim⁡n→+∞un=lim⁡n→+∞vn=1\lim_{n\to +\infty}u_n=\lim_{n\to +\infty}v_n=1$

Ah oui. Et aussi, on sait que la convergence ne donne pas la limite de la suite. En fait, si j'ai bien compris, vous avez slmt remplacé puis vous avez fait passer le l' de l'autre côté et v que c'est égale vous remplacez et trouver lim Un = lim Vn ?

Oui,

Vu que $U_n$ ) et $V_n$ ) ont des limites finies ( car convergentes) :

$lim⁡n→∞(un−vn)=lim⁡n→∞un−lim⁡n→∞vn=0\lim_{n\to \infty} (u_n-v_n)=\lim_{n\to \infty} u_n-\lim_{n\to \infty} v_n=0$

d'où la réponse.

D'accord je vous remercie. Et c'est là que commence les choses complexes...

Partie B

On définit les suites (Un) et (Vn) par :

Uo = 1, Vo = 2

Vn+1 = (Un+Vn/2)
Un+1 = (2/Vn+1)

Justifier que (Un) et (Vn) sont bien définies.

J'ai réussi à cette question.

a. Montrer que pour tout entier n, (Un+Vn)² - 8 = (Vn-Un)²

J'ai aussi réussi.

b. Montrer par récurrence pour tout entier n, 0<Un<Un+1

J'ai réussi.

En déduire que Vn - Un < 1/4^n

Là je ne sais pas... Une piste?

Montrer que (Un) et (Vn) sont adjacentes.
Calculer Un x Vn et en déduire la limite commune à Un et Vn

C'est trois dernières questions, je n'arrive pas du tout...
Auriez-vous des pistes? Merci.

Bizarre tes questions sur cette partie B

Tu n'as pas dû écrire toutes les questions, car il y a des manques pour prouver les les suites (Un) et (Vn) sont adjacentes.

Il faut montrer que (Un) est croissante mais aussi que (Vn) est décroissante...
Pour aboutir, il faudrait aussi montrer que Vn-Un ≥ 0 ...

J'espère que tu as fait tout ça.

Je suis aussi surprise pour cette question 3) demandée directement.

Il aurait était heureux de commencer à prouver que :

$vn+1−un+1≤14(vn−un)v_{n+1}-u_{n+1} \le \frac{1}{4}(v_n-u_n)$

Si tu ne l'as pas fait, je te conseille de le faire ( et pour cela, tu pourras utiliser la relation (Un+Vn)² - 8 = (Vn-Un)² )

Ensuite, il faudra déduire :

$\le v_n-u_n \le (\frac{1}{4})^n$

et utiliser le théorème des 2 gendarmes.

Excusez moi, pour la récurrence, la question 2) b.

L'énoncé est celui-ci (de la question 2)b.) :

"Montrer par récurrence que pour tout entier n, 0 < Un < Un+1 < Vn+1 < Vn"

Ca c'est bon, ça été fait. Cependant c'est les trois dernières questions que je n'ai réussi.

J'attends des pistes... et surtout, c'est le fait qu'il y est un 1/4^n comment fais-je faire pour prouver.

Mais sinon, pour la question 4. il faut appliquer la définition tout simplement. Mais sans la 3. je ne peux pas faire la 4.

Merci... J'attends des pistes

Idées possibles pour la 3) ( mais il faut comprendre et détailler toutes les étapes)

Pour tout n de N :

$vn+1−un+1=un+vn2−4un+vn=(un+vn)2−82(un+vn)=(vn−un)22(un+vn)v_{n+1}-u_{n+1}=\frac{u_n+v_n}{2}-\frac{4}{u_n+v_n}=\frac{(u_n+v_n)^2-8}{2(u_n+v_n)}=\frac{(v_n-u_n)^2}{2(u_n+v_n)}$

$vn≥1u_n \ge 1 \ v_n\ge 1$

donc $2(un+vn)≥42(u_n+v_n)\ge 4$

donc $vn+1−un+1≤(vn−un)24v_{n+1}-u_{n+1}\le \frac{(v_n-u_n)^2}{4}$

On peut écrire :

$vn+1−un+1≤14(vn−un)(vn−un)v_{n+1}-u_{n+1}\le \frac{1}{4}(v_n-u_n)(v_n-u_n)$

Or $vn−un≤1v_n-u_n \le 1$

d'où $\fbox{v_{n+1}-u_{n+1}\le \frac{1}{4}(v_n-u_n)}$

A partir de là, tu as le choix, en utilisant l'inégalité encadrée.

Tu peux faire une récurrence (simple) pour prouver l'inégalité voulue

Tu peux aussi raisonner par transitivité de la relation ≤

$vn−un≤14(vn−1−un−1)≤(14)2(vn−2−un−2)≤...≤(14)n(v0−u0)v_n-u_n \le \frac{1}{4}(v_{n-1}-u_{n-1)} \le ( \frac{1}{4})^2(v_{n-2}-u_{n-2)}\le...\le ( \frac{1}{4})^n(v_{0}-u_0)$

Tu remplaces U0 et V0 par leurs valeurs respectives.

mais c'est le 4 seulement qui est à la puissance, j'ai oublier de préciser. Mais je ne comprends pas tout votre raisonnement

Prends le temps de réfléchir au raisonnement...
Comme je te l'ai indiqué, "il faut comprendre et détailler toutes les étapes"

En ce qui concerne le 4, j'espère que tu sais depuis longtemps que :

$(14)n=1n4n=14n(\frac{1}{4})^n=\frac{1^n}{4^n}=\frac{1}{4^n}$

D'accord je refais ça,, et j'essaie de comprendre.

En ce qui concerne, la question 4. il faut montrer que les suites Un et Vn sont adjacentes.

Il faut montrer que Un est croissante et Vn est décroissante. Et aussi montrer que lim Un-Vn = 0

J'ai une idée, mais il y aurait quelque de plus rapide? Que de faire Un+1-Un ect..

Il faut que tu comprennes l'enchaînement logique entre les questions.

Tu as dit avoir prouvé que : 0 < Un < Un+1 < Vn+1 < Vn

Réfléchis à quoi ça sert.

Lorsque tu auras prouvé que $\le v_n-u_n\le \frac{1}{4^n}$ , réfléchis encore à qui ça sert ( je t'ai même donné l'idée d'utiliser le théorème des deux gendarmes )

Tu verras que la question 4) ne pose aucun problème.

J'ai trouvé mais je suis pas sur.

Alors j'ai mis, grace a la récurrence Un est croissante et Vn est décroissante. D'après la question 3. comme 1/4^n tend vers 0 alors elles sont comme limite lim Un-Vn = lim 1/4^n = 0 car 1/4^n compris entre -1 et 1

Et pour la 5. j'ai mis que UnVn = 2 => ll = 2
=> l^2 = 2
=> l = √2

J'ai pas compris cette partie de votre raisonnement

2(Un+Vn) ≥ 4
Vn+1-Un+1 ≤ (Vn-Un)^2/4

Fais attention, pour la limite , c'est parce que 1/4 est compris entre -1 et 1 que $1/4)^n$ tend vers 0

Pour ta question supplémentaire :

$(vn−un)22(un+vn)≤(vn−un)242(u_n+v_n) \ge 4\ \ \rightarrow \ \ \frac{(v_n-u_n)^2}{2(u_n+v_n)}\le \frac{(v_n-u_n)^2}{4}$

Ok merci à vous, bonne soirée

De rien et bonnes vacances ( si tu es en vacances ce soir ).