Déterminer si une suite est arithmétique / géométrique et donner son expression

Bonjour, je suis bloqué sur un exercice à faire, pourriez-vous m'aider ?

On considère la suite (Un) définie par :

(Un) :

{ Uo=-7
{ Un+1= 7Un+36/-Un-5

Calculer U1 et U2. La suite (Un) est-elle arithmétique ou géométrique ? (cet exercice a normalement bien été fait)

Voici mes résultats :

U1 =-13/2U2 =-19/3

Je viens de faire et refaire mes calculs, c'est bizarre et je ne sais pas si c'est fait exprès, mais je n'ai retrouvé ni la forme arithmétique, ni la forme géométrique, car il y a pas de raison ? Cela m'empêche de continuer les autres exercices...

On pose Vn = 1/Un+6 pour tout n appartenant à N.

a. Calculer V0,V1 et V2. Que peut-on conjecturer sur la nature de (Vn) ?
b. Démontrer votre conjecture.
c. En déduire l'expression de Vn en fonction de n puis celle de Un.
d. Calculer u20.

Merci

Bonjour,

Si tu n'utilises pas le latex, mets suffisamment de parenthèses pour que l'on comprenne.

Est-ce

$un+1=7un+36−un−5u_{n+1}=\frac{7u_n+36}{-u_n-5}$

ou

$un+1=7un+36−un−5u_{n+1}=7u_n+\frac{36}{-u_n-5}$

Est-ce

$vn=1un+6v_n=\frac{1}{u_n+6}$

ou

$vn=1un+6v_n=\frac{1}{u_n}+6$

?

Bonjour, excusez-moi je n'ai pas précisée :

$,vn=1un+6\frac{7un+36}{-un-5}, \ \ \ et \ \ , vn=\frac{1}{un+6}$

D'accord.

$U_1$ et $U_2$ sont exacts.

Effectivement, la suite $U_n$ ) n'est ni arithmétique, ni géométrique.
C'est pour cela qu'il faut passer par une suite (Vn) intermédiaire pour connaître l'expression générale de $U_n$

Commence par calculer $V_0$ , $V_1$ , $V_2$ , comme te le demande l'énoncé.

$v2=1u2+6=...v_0=\frac{1}{u_0+6}=... \ v_1=\frac{1}{u_1+6}=... \ v_2=\frac{1}{u_2+6}=...$

Voici mes calculs (en se passant de mes détails de calculs) :

V0 =-1V1 =-2V2 =-3

La nature de la suite (Vn) est une suite arithmétique de premier terme -1 et de raison -1.

Est-ce bien cela ?

Pour prouver ma conjecture, va-t-il alors falloir que je calcul Vn+1 - Vn ?

Merci

Oui pour la conjecture sur $V_n$ )

Oui, pour la prouver, calcule $V$ _{n+1} $V_n$ , et tu trouveras :

$v_{n+1}-v_n=-1$ d'où $v_{n+1}=v_n-1$

Voilà le début :

$\frac{1}{u (n+1)+6} = \frac{1}{[\frac{7un+36}{-un-5}]+6}$

Après va-t-il falloir que je réduise?

Oui, tu transformes.

Tu dois trouver :

$vn+1=−un−5un+6v_{n+1}=\frac{-u_n-5}{u_n+6}$

Je n'arrive pas à tomber dans la même expression que la vôtre.

Commence à transformer le dénominateur:

$7un+36−un−5+6=....−un−5\frac{7u_n+36}{-u_n-5}+6=\frac{....}{-u_n-5}$

Ensuite tu inverses car :

$1ab=ba\frac{1}{\frac{a}{b}}=\frac{b}{a}$

D'accord, alors cela me fait :

$un+6−un−5\frac{un+6}{-un-5}$ = $−un−5un+6\frac{-un-5}{un+6}$

Est-ce bien cela?

merci

Ta dernière égalité n'est pas bonne car ton confonds un nombre avec son inverse.

Tu devrais trouver :

$7un+36−un−5+6=un+6−un−5\frac{7u_n+36}{-u_n-5}+6=\frac{u_n+6}{-u_n-5}$

Donc :

$vn+1=1un+6−un−5v_{n+1}=\frac{1}{\frac{u_n+6}{-u_n-5}}$

Donc :

$vn+1=−un−5un+6v_{n+1}=\frac{-u_n-5}{u_n+6}$

D'accord !

Et donc :

Vn+1-Vn = $−un−5un+6−1un+6\frac{-un-5}{un+6}-\frac{1}{un+6}$
Vn+1-Vn = (je n'arrive pas à réduire et à simplifier je tombe sur quelque chose comme ceci :

$−1(−un−5)un+6\frac{-1(-un-5)}{un+6}$

Ta dernière expression est fausse.

$vn+1−vn=−un−5un+6−1un+6=−un−5−1un+6=...=−(un+6un+6)=....v_{n+1}-v_n=\frac{-un-5}{un+6}-\frac{1}{un+6}=\frac{-u_n-5-1}{u_n+6}=...=-(\frac{u_n+6}{u_n+6})=....$

D'accord merci, donc du coup je barre les deux "Un+6", il ne me restera plus que -1, Est-ce bien cela ?

Et si j'en déduit l'expression de (Vn) en fonction de n tout d'abord, alors j'ai trouvé :

(Vn) = -(n)-1

merci

Oui, $v_n=-n-1$ est bon.

Avec l'expression $vn=1un+6v_n=\frac{1}{u_n+6}$ , tu remplaces $V_n$ par l'expression que tu viens de trouver et tu en déduis l'expression de $U_n$ (ce qui est le but de la méthode)

D'accord, donc j'ai :

$vn=1un+6vn=\frac{1}{un+6}$

$−n−1=1un+6-n-1=\frac{1}{un+6}$

$un(−n−1)=16un(-n-1)=\frac{1}{6}$

Ensuite je déplace "(-n-1)" afin d'obtenir uniquement (Un) d'un côté de l'égalité?

Tu sembles confondre addition et multiplication...

$u_n+6)(-n-1)=1$

Tu continues.

Au final, tu dois trouver :

$un=7+6nn+1=−7−6nn+1u_n=\frac{7+6n}{n+1}=\frac{-7-6n}{n+1}$

Remarque : je te conseille de vérifier que l'expression est bonne en remplaçant n par 0, puis 1, puis 2 et comparer aux résultats trouvés au début de l'exercice.

(Un+6)(-n-1)=1

alors [Un*(-n)]+Un -6n+6=1

pour commencer Est-ce comme ceci ?

j'ai distribuée et appliquée la règle:
(a+b)(c-d) = ...-...+...-

Je te suggère de conserver (-n-1) :

$u_n(-n-1)+6(-n-1)=1$

$u_n(-n-1)=-6(-n-1)+1$

$u_n(-n-1)=+6n+6+1$

Tu continues

Cela me fait donc :

$u n (- n - 1) = 6 n + 7$

$un=6n+7n+1un=\frac{6n+7}{n+1}$

?

Il y a des erreurs de signe à ta dernière expression :

$un=6n+7−n−1u_n=\frac{6n+7}{-n-1}$

Vu que l'énoncé te demande la valeur de $U_{20}$ , tu remplaces n par 20 dans cette expression et tu comptes.

Ah j'y suis allée trop vite et j'ai pris en compte le changement de signe alors qu'il ne fallait pas!

Donc, calculons $u20=6∗(20)+7−20−1\tiny u20 = \frac{6*(20)+7}{-20-1}$

U20 = -127/21

Le problème est que j'ai essayé pour U1 mais je ne retombe pas sur (-13/2), Est-ce normal?

Oui pour $U_{20}$

Pour $U_1$ , aucune difficulté

$u1=+7+6.1−1−1=7+6−2=13−2=−132u_1=\frac{+7+6.1}{-1-1}=\frac{7+6}{-2}=\frac{13}{-2}=\frac{-13}{2}$

CQFD

J'ai dû faire une erreur de calcul! Je vous remercies de votre aide, elle m'a beaucoup aidé !

J'ai encore une question à vous poser, pour la première conjecture (à la question 1, faudrait-il dans n'importe quelle démarche tout d'abord pour une question d'esthétisme calculer la différence entre les suites (exemples : U2-1 et U1-U0) et déterminer si il y a une raison, et de ce fait si il y en a pas c'est que la suite n'est ni géométrique ni arithmétique? Sur mon cahier de leçon n'ai pas de formule pour calculer la différence alors je n'ai marqué que les calculs directement. De plus j'ai inventé une phrase d'introduction disant "Calculons la différence entres deux termes de la suite et regardons si la raison est constante. Si celle-ci est constante, on pourra alors déterminer si la suite est arithmétique ou géométrique."

Le calcul de $U$ {n+1} $U_n$ n'a un interêt que pour prouver que la suite $U_n$ ) estarithmétique et trouver $* * U$ {n+1} $U_n$ = r (constante)** et conclure $< s t r o n g > U$ _{n+1} $U_n$ +r
Pour prouver qu'une suite estgéométrique, il est utile de calculer $U$ {n+1} $U_n$ et trouver** $U$ {n+1} $U_n$ = q (constante)** et conclure $< s t r o n g > U$ _{n+1} $qU_n$

Evidemment, comme la suite $U_n$ ) de cet exercice, une suite peut être ni arithmétique, ni géométrique.

Si on n'a pas de conjecture particulière, de façon générale, on peut calculer l'expression de $U_{n+1}$ en fonction de $U_n$ et voir ce que ça donne.

Merci beaucoup cela m'a beaucoup aidé!

De rien et bon Noël !

Merci!