Déterminer si une suite est arithmétique / géométrique et donner son expression


  • A

    Bonjour, je suis bloqué sur un exercice à faire, pourriez-vous m'aider ?

    On considère la suite (Un) définie par :

    (Un) :

    { Uo=-7
    { Un+1= 7Un+36/-Un-5

    1. Calculer U1 et U2. La suite (Un) est-elle arithmétique ou géométrique ? (cet exercice a normalement bien été fait)

    Voici mes résultats :

    U1 =-13/2U2 =-19/3

    Je viens de faire et refaire mes calculs, c'est bizarre et je ne sais pas si c'est fait exprès, mais je n'ai retrouvé ni la forme arithmétique, ni la forme géométrique, car il y a pas de raison ? Cela m'empêche de continuer les autres exercices...

    1. On pose Vn = 1/Un+6 pour tout n appartenant à N.

    a. Calculer V0,V1 et V2. Que peut-on conjecturer sur la nature de (Vn) ?
    b. Démontrer votre conjecture.
    c. En déduire l'expression de Vn en fonction de n puis celle de Un.
    d. Calculer u20.

    Merci


  • mtschoon

    Bonjour,

    Si tu n'utilises pas le latex, mets suffisamment de parenthèses pour que l'on comprenne.

    Est-ce

    un+1=7un+36−un−5u_{n+1}=\frac{7u_n+36}{-u_n-5}un+1=un57un+36

    ou

    un+1=7un+36−un−5u_{n+1}=7u_n+\frac{36}{-u_n-5}un+1=7un+un536

    Est-ce

    vn=1un+6v_n=\frac{1}{u_n+6}vn=un+61

    ou

    vn=1un+6v_n=\frac{1}{u_n}+6vn=un1+6

    ?


  • A

    Bonjour, excusez-moi je n'ai pas précisée :

    7un+36−un−5,   et  ,vn=1un+6\frac{7un+36}{-un-5}, \ \ \ et \ \ , vn=\frac{1}{un+6}un57un+36,   et  ,vn=un+61


  • mtschoon

    D'accord.

    U1U_1U1 et U2U_2U2 sont exacts.

    Effectivement, la suite (Un(U_n(Un) n'est ni arithmétique, ni géométrique.
    C'est pour cela qu'il faut passer par une suite (Vn) intermédiaire pour connaître l'expression générale de UnU_nUn

    Commence par calculer V0V_0V0, V1V_1V1, V2V_2V2, comme te le demande l'énoncé.

    v0=1u0+6=... v1=1u1+6=... v2=1u2+6=...v_0=\frac{1}{u_0+6}=... \ v_1=\frac{1}{u_1+6}=... \ v_2=\frac{1}{u_2+6}=...v0=u0+61=... v1=u1+61=... v2=u2+61=...


  • A

    Voici mes calculs (en se passant de mes détails de calculs) :

    V0 =-1V1 =-2V2 =-3

    La nature de la suite (Vn) est une suite arithmétique de premier terme -1 et de raison -1.

    Est-ce bien cela ?

    Pour prouver ma conjecture, va-t-il alors falloir que je calcul Vn+1 - Vn ?

    Merci


  • mtschoon

    Oui pour la conjecture sur (Vn(V_n(Vn)

    Oui, pour la prouver, calcule VVV_{n+1}−Vn-V_nVn , et tu trouveras :

    vn+1−vn=−1v_{n+1}-v_n=-1vn+1vn=1 d'où vn+1=vn−1v_{n+1}=v_n-1vn+1=vn1


  • A

    Voilà le début :

    vn+1=1u(n+1)+6=1[7un+36−un−5]+6vn+1= \frac{1}{u (n+1)+6} = \frac{1}{[\frac{7un+36}{-un-5}]+6}vn+1=u(n+1)+61=[un57un+36]+61

    Après va-t-il falloir que je réduise?


  • mtschoon

    Oui, tu transformes.

    Tu dois trouver :

    vn+1=−un−5un+6v_{n+1}=\frac{-u_n-5}{u_n+6}vn+1=un+6un5


  • A

    Je n'arrive pas à tomber dans la même expression que la vôtre.


  • mtschoon

    Commence à transformer le dénominateur:

    7un+36−un−5+6=....−un−5\frac{7u_n+36}{-u_n-5}+6=\frac{....}{-u_n-5}un57un+36+6=un5....

    Ensuite tu inverses car :

    1ab=ba\frac{1}{\frac{a}{b}}=\frac{b}{a}ba1=ab


  • A

    D'accord, alors cela me fait :

    un+6−un−5\frac{un+6}{-un-5}un5un+6 = −un−5un+6\frac{-un-5}{un+6}un+6un5

    Est-ce bien cela?

    merci


  • mtschoon

    Ta dernière égalité n'est pas bonne car ton confonds un nombre avec son inverse.

    Tu devrais trouver :

    7un+36−un−5+6=un+6−un−5\frac{7u_n+36}{-u_n-5}+6=\frac{u_n+6}{-u_n-5}un57un+36+6=un5un+6

    Donc :

    vn+1=1un+6−un−5v_{n+1}=\frac{1}{\frac{u_n+6}{-u_n-5}}vn+1=un5un+61

    Donc :

    vn+1=−un−5un+6v_{n+1}=\frac{-u_n-5}{u_n+6}vn+1=un+6un5


  • A

    D'accord !

    Et donc :

    Vn+1-Vn =−un−5un+6−1un+6\frac{-un-5}{un+6}-\frac{1}{un+6}un+6un5un+61
    Vn+1-Vn = (je n'arrive pas à réduire et à simplifier je tombe sur quelque chose comme ceci :

    −1(−un−5)un+6\frac{-1(-un-5)}{un+6}un+61(un5)


  • mtschoon

    Ta dernière expression est fausse.

    vn+1−vn=−un−5un+6−1un+6=−un−5−1un+6=...=−(un+6un+6)=....v_{n+1}-v_n=\frac{-un-5}{un+6}-\frac{1}{un+6}=\frac{-u_n-5-1}{u_n+6}=...=-(\frac{u_n+6}{u_n+6})=....vn+1vn=un+6un5un+61=un+6un51=...=(un+6un+6)=....


  • A

    D'accord merci, donc du coup je barre les deux "Un+6", il ne me restera plus que -1, Est-ce bien cela ?

    Et si j'en déduit l'expression de (Vn) en fonction de n tout d'abord, alors j'ai trouvé :

    (Vn) = -(n)-1

    merci


  • mtschoon

    Oui, vn=−n−1v_n=-n-1vn=n1 est bon.

    Avec l'expression vn=1un+6v_n=\frac{1}{u_n+6}vn=un+61 , tu remplaces VnV_nVn par l'expression que tu viens de trouver et tu en déduis l'expression de UnU_nUn (ce qui est le but de la méthode)


  • A

    D'accord, donc j'ai :

    vn=1un+6vn=\frac{1}{un+6}vn=un+61

    −n−1=1un+6-n-1=\frac{1}{un+6}n1=un+61

    un(−n−1)=16un(-n-1)=\frac{1}{6}un(n1)=61

    Ensuite je déplace "(-n-1)" afin d'obtenir uniquement (Un) d'un côté de l'égalité?


  • mtschoon

    Tu sembles confondre addition et multiplication...

    (un+6)(−n−1)=1(u_n+6)(-n-1)=1(un+6)(n1)=1

    Tu continues.

    Au final, tu dois trouver :

    un=7+6nn+1=−7−6nn+1u_n=\frac{7+6n}{n+1}=\frac{-7-6n}{n+1}un=n+17+6n=n+176n

    Remarque : je te conseille de vérifier que l'expression est bonne en remplaçant n par 0, puis 1, puis 2 et comparer aux résultats trouvés au début de l'exercice.


  • A

    (Un+6)(-n-1)=1

    alors [Un*(-n)]+Un -6n+6=1

    pour commencer Est-ce comme ceci ?

    j'ai distribuée et appliquée la règle:
    (a+b)(c-d) = ...-...+...-


  • mtschoon

    Je te suggère de conserver (-n-1) :

    un(−n−1)+6(−n−1)=1u_n(-n-1)+6(-n-1)=1un(n1)+6(n1)=1

    un(−n−1)=−6(−n−1)+1u_n(-n-1)=-6(-n-1)+1un(n1)=6(n1)+1

    un(−n−1)=+6n+6+1u_n(-n-1)=+6n+6+1un(n1)=+6n+6+1

    Tu continues


  • A

    Cela me fait donc :

    un(−n−1)=6n+7un(-n-1)=6n+7un(n1)=6n+7

    un=6n+7n+1un=\frac{6n+7}{n+1}un=n+16n+7

    ?


  • mtschoon

    Il y a des erreurs de signe à ta dernière expression :

    un=6n+7−n−1u_n=\frac{6n+7}{-n-1}un=n16n+7

    Vu que l'énoncé te demande la valeur de U20U_{20}U20, tu remplaces n par 20 dans cette expression et tu comptes.


  • A

    Ah j'y suis allée trop vite et j'ai pris en compte le changement de signe alors qu'il ne fallait pas!

    Donc, calculons u20=6∗(20)+7−20−1\tiny u20 = \frac{6*(20)+7}{-20-1}u20=2016(20)+7

    U20 = -127/21

    Le problème est que j'ai essayé pour U1 mais je ne retombe pas sur (-13/2), Est-ce normal?


  • mtschoon

    Oui pour U20U_{20}U20

    Pour U1U_1U1, aucune difficulté

    u1=+7+6.1−1−1=7+6−2=13−2=−132u_1=\frac{+7+6.1}{-1-1}=\frac{7+6}{-2}=\frac{13}{-2}=\frac{-13}{2}u1=11+7+6.1=27+6=213=213

    CQFD


  • A

    J'ai dû faire une erreur de calcul! Je vous remercies de votre aide, elle m'a beaucoup aidé !

    J'ai encore une question à vous poser, pour la première conjecture (à la question 1, faudrait-il dans n'importe quelle démarche tout d'abord pour une question d'esthétisme calculer la différence entre les suites (exemples : U2-1 et U1-U0) et déterminer si il y a une raison, et de ce fait si il y en a pas c'est que la suite n'est ni géométrique ni arithmétique? Sur mon cahier de leçon n'ai pas de formule pour calculer la différence alors je n'ai marqué que les calculs directement. De plus j'ai inventé une phrase d'introduction disant "Calculons la différence entres deux termes de la suite et regardons si la raison est constante. Si celle-ci est constante, on pourra alors déterminer si la suite est arithmétique ou géométrique."


  • mtschoon

    Le calcul de UUU{n+1}−Un-U_nUn n'a un interêt que pour prouver que la suite (Un(U_n(Un) estarithmétique et trouver ∗∗U**UU{n+1}−Un-U_nUn = r (constante)** et conclure <strong>U<strong>U<strong>U_{n+1}=Un=U_n=Un+r
    Pour prouver qu'une suite estgéométrique, il est utile de calculer UUU{n+1}/Un/U_n/Un et trouver**UUU{n+1}/Un/U_n/Un= q (constante)** et conclure <strong>U<strong>U<strong>U_{n+1}=qUn=qU_n=qUn

    Evidemment, comme la suite (Un(U_n(Un) de cet exercice, une suite peut être ni arithmétique, ni géométrique.

    Si on n'a pas de conjecture particulière, de façon générale, on peut calculer l'expression de Un+1U_{n+1}Un+1 en fonction de UnU_nUn et voir ce que ça donne.


  • A

    Merci beaucoup cela m'a beaucoup aidé!


  • mtschoon

    De rien et bon Noël !


  • A

    Merci!


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