Démontrer qu'une courbe est au dessus de toutes ses tangentes à l'aide des dérivées



  • Bonjour, j'ai commencé l’exercice mais n'arrive pas à le terminer:

    Exercice I)
    f est la fonction définie sur R par : f(x) = 4x² - 6x+ 2.
    Démontrez que la courbe C représentative de f est au-dessus de n'importe laquelle des ses tangentes.

    Mon avancement :

    Exercice I)
    J'ai calculé f'(a).
    f'(a) = (8a-6) <-- [i]Là j'ai un doute, je ne sais pas s'il faut que je remplace le 'moins' par un 'plus'.[/i]
    Je calcule ensuite la tangente T :
    f'(a)(x-a)+f(a)
    (8a-6)(x-a)+4a²-6a+2
    8ax-8a²-6x+6a+4a²-6a+2
    8ax-4a²-6x+2
    (8a+6)x-4a²+2 = T
    La tangente en un point d'abscisse a a pour équation a pour équation : (8a+6)x-4a²+2 = y

    Il faut donc montrer que, quel que soit a, f(x)-y > 0 donc
    4x²+6x+2-[(8a-6)x-4a²+2]>0

    *C'est là où je bloque.. Je ne sais pas du tout si mes résultats et mon raisonnement sont justes, et s'il faut que j'utilise les identités remarquables pour résoudre l'inéquation.. *
    J'ai donc tenté quelque chose :
    4x²+6x+2-[(8a-6)x-4a²+2]>0
    4x²-6x-8ax+6x+4a²
    4x²-8ax-4a²

    Merci d'avance pour votre aide 😄



  • Bonjour 22Lea,

    Un seul exercice par sujet. propose deux autres posts pour les exercices II et III.

    Pour l'exercice I,
    vérifie tes calculs, principalement les signes.
    Pour l'inéquation, factorise en utilisant les identités remarquables.



  • Désolé je vais modifier le post.

    Exercice I)
    Je résout l'équation avec a comme inconnue pour trouver la signe du polynôme.

    4x²+6x+2-[(8a-6)x-4a²+2]>0

    après réduction, j'arrive à :
    4x²-8ax+4a² > 0
    <=> 4(x²-2ax+a²) > 0
    <=> (x-a)² > 0 <--- identité remarquable donc

    <=> x²-2xa+a² ?



  • Attention aux signes

    4x²
    -6x+2-[(8a-6)x-4a²+2]>0

    après réduction, :
    4x²-8ax+4a² > 0
    <=> 4(x²-2ax+a²) > 0
    <=> (x-a)² > 0 <--- identité remarquable donc

    Un carré est toujours .....
    donc ...



  • 4x²-6x+2-[(8a-6)x-4a²+2]>0

    après réduction, :
    4x²-8ax+4a² > 0
    <=> 4(x²-2ax+a²) > 0
    <=> (x-a)² > 0
    Un carré est toujours positif donc f(x) est supérieur à T:(y)= (8a-6)x-4a²+2 ce qui signifie que la courbe représentative de f est située au-dessus de la tangente pour n'importe quel a.



  • Un carré est toujours positif ou nul, donc f(x) - y ≥ 0
    La courbe représentative de f est située au-dessus de la tangente pour n'importe quel a.


 

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