Démontrer que des paraboles sont tangentes

Bonjour, j'ai commencé l’exercice mais n'arrive pas à le terminer:

Exercice II)
A tout nombre m différent de 0, on associe la parabole Pm d'équation :
y = mx² + (1 - 2m)x + m.
Démontrez que toutes ces paraboles sont tangentes entre elles.
NOTE : On dit que deux paraboles P1 et P2 sont tangentes lorsqu'elles ont un point commun A et un tangente commune en A.

Ce que j'ai fais :

Exercice II)
Je trouve un point commun A et un tangente commune en A entre les paraboles
d'équation : mx²+(1-2m)x+m et px²+(1-2p)x+p.
m et p, des nombre quelconque différents de 0.
mx²+(1-2m)x+m = px²+(1-2p)x+p

Je mets tout d'un seul coté :
(m-p)x²+2(p-m)x+m-p = 0
Je trouve comme discriminant (avec b²-4ac):
2(p-m)²-4(m-p)(m-p)
4(p-m)²-4(m-p)² = 0
Delta = 0
donc x=-b/2a devient -2(p-m)/2(m-p)=-1
x=-1

*Mais je ne sais pas comment conclure et si c'est correct. *
[b]

Merci

Bonjour 22Lea,

Une erreur de signe
-2(p-m)/2(m-p)= 2(-p+m)/2(m-p)=1
soit x = 1

Il reste à calculer l'ordonnée du point A; y = ..
puis l'équation de la tangente.

Delta = 0
donc xA=-b/2a devient -2(p-m)/2(m-p)
x = +1
d'où yA = f(xA) = 1
Toutes les paraboles sont tangentes au point A( 1 ; 1).
C'est le point commun à toutes les paraboles.

C'est correct,

Calcule l'équation de la tangente.

Je n'ai pas compris je cherche l'équation de la tangente de mx²+(1-2m)x+m ?

Je n'ai pas compris je cherche l'équation de la tangente de mx²+(1-2m)x+m ?

Oui

cherche l'équation de la tangente au point A(1;1) pour y = mx² + (1 - 2m)x + m

J'ai trouvé y=2mx+(1-2m)(x-a)+mx²+(1-2m)x+m
c'est exact?

Il faut écrire
y = f'(1)(x-1) + f(1)

Je rame..
J'ai trouvé f'(1)=2m+(1-2m)
y = f'(1)(x-1) + f(1) <=> y = 2m+(1-2m)(x-1)+1

f'(1)=2m+(1-2m) = 1
y = f'(1)(x-1) + f(1) <=> y = 1(x-1)+1 = ....

y = f'(1)(x-1) + f(1) <=> y = 1(x-1)+1 = 1x-1+1 = 1x

L'équation de la tangente ne dépend pas de m donc ....

L'équation de la tangente ne dépend pas de m donc toutes les paraboles sont tangentes entre elles au point A(1 ; 1) qui est le point commun à toutes les paraboles d'équation y=mx²+(1-2m)x+m

C'est correct.

D'accord, merci beaucoup votre aide !