Etudier le sens de variation d'une suite

Bonjour et bonne année 2015 !
J'ai un DM sur les suites que je ne comprends pas.

Soit (yn)n≥0 définie par yn = 10 - 1/(n+1)²

Préciser la fonction u définie sur [0;+∞[ telle que, pour tout n ∈ N, yn=u(n).
Déterminer le sens de variation de la fonction u sur [0;+∞[.
Quel est le sens de variation de la suite (yn)n≥0 ?
Déterminer le premier entier naturel n0 tel que,n∈N et n≥n0 implique que 9,99 <yn<10

Merci.

Bonsoir Plop1,

Indique tes éléments de réponse et la question qui te pose problème.
u(n) = 10 - 1/(n+1)²
Etudie les variations de cette fonction.

Bonsoir,
Alors pour le 1), je dois définir la fonction u ? donc :
u : [0;+∞[ → ℜ
x → 10 - 1/(n+1)²
Pour déterminer les variations de la fonction je dois prendre 2 réels a et b sur [0;+∞[ et voir l'ordre de u(a) et u(b) ? Donc le sens de variation de la suite est le même que celui de la fonction u ?
Pour le dernier point, aucune idée.
C'est correct ?

Juste une erreur :
x → 10 - 1/(n+1)² si la variable est x → 10 - 1/(x+1)²

La dernière question est un encadrement de yn en utilisant les variations de la fonction et la calculatrice.

Pour le sens de variation de la fonction u, avec 2 réels a et b tel que 0<a<b :
u(b)-u(a) = 1(a-1)² + 1(b+1)²/ (b+1)² (a-1)²
Si c'est juste, comment le simplifier pour trouver le signe de cette expression ?
Ps : Pour la dernière question je n'arrive pas à "encadrer".

u(b) - u(a) = -1/(b+1)² + 1/(a+1)²
réduis cette expression au même dénominateur et simplifie le numérateur.

(a+1)² + (b+1)²/ (b+1)² (a+1)² ? Peut on simplifier plus ?

Une erreur de signe :
[(a+1)² - (b+1)²]/ (b+1)² (a+1)²

développe et simplifie le numérateur.
mets a-b en facteur.

Ah oui, cela donne a-b. Donc u(b) <u(a), la fonction est décroissante sur l'intervalle?

...

[(a+1)² - (b+1)²] = a² - b² + 2a - 2b =
(a-b)(a+b+2)

Pour les variations, il faut déterminer le signe de
-(a+b+2)/(b+1)² (a+1)² sur l'intervalle de définition.

-(a+b+2)/(b+1)² (a+1)² est croissante car c'est une fonction inverse ? donc u(a) < u(b)

Tu dois déterminer le signe de cette expression pour a et b ≥ 0,
donc négatif,
donc fonction .....

fonction décroissante car le numérateur négatif

Oui

Ok et pour la dernière question, c'est n > 9 ?

Oui
n≥10

Merci, on m'a dit que la fonction est croissante pourquoi..?

Exact une erreur de signe :

u(b) - u(a) = - [(a+1)² - (b+1)²]/ (b+1)² (a+1)²
d'ou on étudie le signe de :
(a+b+2)/(b+1)² (a+1)²
donc > 0
conclusion
....