Fonctions Polynômes et Sommes de n termes consécutifs d'une suite

Bonsoir,
J'ai un DM à rendre avec l'exercice suivant : Soit P un trinôme : P(x)=ax²+bx+c avec a≠ 0, b et c sont trois nombres réels tels que : p(x+1)-p(x)=x et p(1)=0, pour tout nombre réel x.

Déterminer les nombres a,b et c. (égalité de deux polynômes)
En utilisant la question précédente, calculer alors Sn en fonction de n avec : Sn=1+2+3+...+n=∑
Calculer S1000=1+2+3+...+1000.

Pour la 1) j'ai tout d'abord fait : On a : p(x+1)-p(x) soit a(x+1)²+b(x+1)+c-(ax²+bx+c) donc en développant il me reste : 2ax+a+b (sauf erreur de calcul) ????????
Pour la 2) Je pense utiliser la formule n(n+1)/2 car Sn=1+2+3+...+n est une somme d'un certain nombre de termes consécutifs d'une suite arithmétique de premier terme 1 et de raison r=1. Mais je ne vois pas vraiment le lien avec la première question...
Enfin pour la 3) je pense utiliser la formule précédente avec 1000(999+1)/2...

Merci à ceux qui prendront le temps de m'aider.

Bonsoir Anonyma10

le calcul est juste,
il reste à écrire 2ax +a + b = x
soit 2a =1 et a+b = 0, soit
a = 1/2 et b = ....
tu déduis c à partir de P(1) = 0
soit a + b + c = 0
c = ....

Pour la question 2, tu dois utiliser le résultat de la question précédente
avec P(x) = 1/2(x²-x) = x/2(x-1)
p(2)-P(1)=1
p(3)-p(2)=2
......

Merci beaucoup de votre aide !
Je ne comprends pas comment vous séparez 2ax=x et a+b=0...
Ensuite, je pense pouvoir continuer et je vous transmettrai mes résultats.

L'énoncé donne p(x+1) - p(x) = x
le calcul p(x+1) - p(x) = 2ax + a + b
soit 2ax + a + b = x
égalité de deux polynômes
2ax = x et
a+ b = 0
soit 2a = 1
a+b = 0
....

Je comprends pour l'égalité des polynômes, mais pourquoi on a d'une part 2a=x et d'autre part a+b=0 . Je vois bien que c'est nécessaire pour la suite...
Désolée :frowning2:

Bonjour,

Seulement une explication à ta dernière question.

Si tu as besoin, Noemi reprendra le dialogue avec toi lorsqu'elle sera là.

Revois ton cours surl'égalité de deux fonctions polynômes P et Q

P = Q signifie que : P et Q sont de même degré et les coefficients des termes de même degré sont égaux

Ici, pour tout x réel : $(2 a) x + (a + b) = x$

Tu peut écrire : $(2 a) x + (a + b) = 1 x + 0$

Par identification des coefficients des termes de degré 1 : $2 a = 1$

Par identification des coefficients des termes de degré 0 : $a + b = 0$

J'espère que c'est clair...

Bonjour, merci de votre explication. Nous n'avons pas encore vu l'égalité des deux fonctions polynômes en cours....Le professeur en a brièvement parlé aujourd'hui du coup. Je vais tenter de continuer et vous recontacterez si besoin.

D'accord.

Je trouve que b=-1/2 et c=0.
Et je pense que c'est juste car ensuite en remplaçant je trouve 1/2x²-1/2 soit en factorisant 1/2(x²-x) comme vous l'aviez indiquée. Mais ensuite je n'arrive pas à retrouver x/2 (x-1) avec 1/2 (x²-x)....je pensais que c'était aussi égale à (x²-x)/2 ...

Ensuite vous avez fait ceci: pour determiner la nature?...
p(2)-P(1)=1

p(3)-p(2)=2

Je ne comprends pas ta difficulté...

a=1/2
b=-1/2
c=0

donc : $p(x)=12x2−12xp(x)=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x$

Ton idée est la bonne pour la suite ( Va jusqu'à P(n+1)-P(n) )

En fait je n'arrivais pas à montrer que P (x) =1/2(x²-x)=x/2 (x-1) mais c'est bon. Donc il me reste à montrer que p (x) est une suite arithmétique, c'ūest ça?

"p (x) est une suite arithmétique" ne veut rien dire .

Explore l'idée que tu as eu

P(2)-P(1)=1
P(3)-P(2)=2
....
continue jusqu'à P(n+1)-P(n)

Le but de l'exercice est de retrouver l'expression de $S_n$ d'une autre façon que celle vue dans ton cours sur les suites arithmétiques.

Bonsoir Anonyma10

p(2)-P(1)=1
p(3)-p(2)=2
......
......
p(n) - p(n-1) = n-1
p(n+1) - p(n) = n

Si tu additionnes les termes de droites : 1 + 2 + 3 + ....(n-1) + n
si tu additionnes les termes de gauche et que tu simplifies : ....

Bonjour, désolée du retard de ma réponse.
Je ne sais pas si c'est bon ...
P (2)-p (1)+p (3)-p (2)+....+p (n+1)-p (n)
""+(x+1)×((x+1)-1)/2 - x (x-1)/2
" "+x²+x/2 -x (x-1)/2
" "+x²+x/2 -x²+x/2
" "+2x/2=x=n

Non, tes calculs n'ont pas de sens vu qu'il n'y a pas de "x" dans ta première ligne.
Applique exactement ce que t'a dit Noemi.

Je vois...je n'avais pas bien compris : je trouve maintenant p(n+1)-p (n-1)...???? Mais ca peut pas etre ca vu qu'on trouve 0 après. ..

De
p(2)-P(1)=1
p(3)-p(2)=2
......
......
p(n) - p(n-1) = n-1
p(n+1) - p(n) = n
A gauche les termes s'éliminent (en diagonale), il reste
p(n+1) - p(1)
Reste à trouver p(n+1) et p(1) à partir de p(x) = x/2(x-1)

....

D'où vient p (n+1)-p (1) restant? Je comprends que p (n)-p (n) et p (n+1)+p (n-1) s'annulent. ..Désolée j'ai vraiment beaucoup de mal avec cet exercice...pour la suite je trouvais que p (n+1)=n²+1/2 mais avec cette methode je trouve le calcul de p (1) impossible car j'ai 1/0...

p(2)-P(1)=1
p(3)-p(2)=2
p(4)-p(3)=3
p(5)-p(4)=4
......
......
p(n) - p(n-1) = n-1
p(n+1) - p(n) = n

Si tu additionnes les trois premières lignes tu trouves
p(4)-p(1) = 1 + 2 + 3
Si tu additionnes les quatre premières lignes, tu trouves
p(5)-p(1) = 1 + 2 + 3 + 4
Si tu additionnes les n lignes, tu trouves
p(n+1) - p(1) = 1 + 2 + 3 + ..... +n

p(x) = 1/2*(x(x-1))
p(0) = 1/2 0(-1) = 0
p(n+1)=1/2(n+1)(n+1-1) = ......

Donc p (n+1)=n²+1/2 et p (1)=0 donc p (n+1)-p (1)=n²+1/2. C'est ça? ...

Non

p(n+1)=1/2(n+1)(n+1-1) = 1/2*(n+1)n
et p(n+1) -p(1) = 1/2*(n+1)n

Donc Sn = 1/2*n(n+1)

Oui j'ai fait une erreur: (n²+n)/2 et donc s1000=500500

C'est correct.

Merci de votre aide et de votre patience !

Tu as tout compris ?

Oui j'ai tout rédigé de manière à comprendre et à le refaire de moi même . J'avais du mal parce que je ne voyais pas les liens entre les questions et comment m'y prendre mais c'est bon. Merci!!!!

C'est bien.

Bonne nuit.