DM Une suite surprenante

Bonjour je me présente je m'appelle Maxime je suis en Premiere S SI et pour ces vacances notre prof de maths nous a donné un exercice DM un peu particulier.

Nous travaillons les suites en ce moment (arithmétiques, géométriques ...)

Mais j'avoue que pour cet exercice je suis un peu perdu ...

D'après l'énoncé, la suite est définie par u0= 1, u1=10, u2=101 construite avec la règle suivante :
pour obtenier un+1, chaque chiffre 1 qui apparait dans 'un' est remplacé par 10 et chaque chiffre 0 qui apparait dans 'un' est remplacé par 1.

Ils nous ont demandé en premier de définir u3, u4 et u5.
J'ai trouvé que d'après la règle u3 = 10110
u4 = 10110101
u5 = 1011010110110

logiquement je pense que c'est celà mais à vérifier car je trouve ça un peu bizarre ^^

Ensuite on doit étudier la monotonie et la limite de la suite.

Mais la je suis bloqué j'ai envie de définir 'Un' pour pouvoir étudier la monotonie par (Un+1) / Un

Si le quotient est supérieur à 1, celà prouve que la suite est croissante.

Mais je ne comprends pas du tout comment je pourrai définir Un avec cette règle ...

Si vous pourriez m'éclairer pour que je puisse continuer la suite de l'exercice car sans pouvoir définir Un je suis un peu coincé ...

Merci d'avance et bonnes vacances pour ceux qui le sont encore ^^

Bonjour,
Un commence nécessairement par le chiffre 1.
Ce chiffre est suivi de kn chiffres 1 et ln chiffres 0.
Donc U(n+1) commence par 10 suivi de (kn+ln) chiffres 1 et kn chiffres 0.
Il en résulte que u(n+1) >= 10 u(n).
Tu peux conclure.

Bonjour flaxmo,

Le début est juste.

Difficile de trouver une relation donc fais une démonstration par récurrence.

merci, je regarde ce soir quand je rentre chez moi
je pense avoir compris l'idée générale, je m'y pencherai de plus près ce soir !

Bonjour à tous,

Une réflexion

Je regarde cette suite et je trouve la question posée bien médiocre.

Cette suite (Un) n'est pas n'importe quelle suite ! (elle correspond tout de même au "codage" des "couples de lapins" de Fibonacci : 1 pour couple de lapins-adultes et 0 pour couple de lapins-bébés).

En appelant Vn le nombre de chiffres de Un :

U0=1 => V0=1
U1=10 => V1=2
U2=101 => V2=3
U3=10110 => V3=5
U4=10110101 => V4=8
U5 = 1011010110110 => V5=13
...

On conjecture que :

$V$ n $+ V$ {n+1} $V_{n+2}$

La démonstration est assez facile, en comptant le nombre de 0 et le nombre de 1.

(Vn) est la suite de Fibonacci.

Je trouve que cela aurait été bien que la question soit posée.

Evidemment, le professeur a peut-être envisagé de traiter cela en cours...

Ceci n'est qu'une réflexion toute personnelle.

Bonjour Mtschoon,
Tu as raison.
Ma suite $l_n$ est aussi la suite de Fibonacci mais commençant par 0,1,1,2,3,...
Par contre, ma suite $k_n$ n'est pas la même décalée, puisque j'ai compté à part le premier 1.

Bonjour Mathtous,

Oui, il y avait beaucoup des choses à dire sur cet exercice...

Bonne journée !