Établir le tableau de variation d'une fonction et déterminer ses limites



  • bonjour a tous,
    j'ai du mal a faire l 'exercice est ce que quelqu'un peut m'aider svp
    voici l'énoncé
    soit f la fonction définie sur l'intervalle ]0;+∞[ par f(x)=(1/2)x+1-1/(2x)+(lnx)/x
    1/déterminer la limite de la fonction f en 0. Interpréter
    déterminer la limite de la fonction f en +∞
    2/montrer que pour tout nombre réel x la fonction dérivée f'de la fonction f est définie par f'(x)=g(x)/2x²
    en déduire le signe de f'
    dresser le tableau de variation de la fonction f sur ]0;+∞[
    3/montrer que l'equation f(x)=0 admet une solution unique c sur ]0;+∞[
    Donner en justifiant un encadrement d'amplitude 0.01 du nombre c
    merci


  • Modérateurs

    Bonjour,

    Piste pour démarrer,

    J'espère qu'il s'agit bien de

    f(x)=12x+112x+lnxxf(x)=\frac{1}{2}x+1-\frac{1}{2x}+\frac{lnx}{x}

    Quelques pistes pour les limites demandées.

    Il n'y a pas d'indétermination.

    Utilise les limites usuelles de ton cours.

    Lorsque x tend vers 0 (par valeurs positives), (1/2)x tend vers 0, 1 reste constant, -1/(2x) tend vers -∞, lnx/x tend vers -∞

    Tu déduis que :

    limx0+f(x)=\lim_{x\to 0^+}f(x)=-\infty

    En raisonnant de façon identique, tu dois trouver :

    limx+f(x)=+\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty

    Regarde cela de près et essaie de poursuivre.



  • oui il s'agit bien de cette fonction
    j'ai bien trouvé ca
    aprés j'ai trouvé f'(x)=1/2-(1/2)lnx+(1-lnx)/x²
    donc je factorise par 1/(2x²)
    du coup je trouve
    f'(x)=(1/(2x²))(x²-x²lnx+1-lnx)
    pour moi g(x)=x²-x²lnx+1-lnx
    et c'est la que j'ai un gros doute


  • Modérateurs

    Comme tu ne donnes pas le détail de tes calculs, ce n'est pas facile de savoir ce que tu as fait...

    Je te donne des détails:

    la dérivée de (1/2)x est 1/2

    la dérivée de 1 est 0

    la dérivée de -1/(2x) est +1/(2x²)

    la dérivée de lnx/x est (1-lnx)/x²

    Vérifie.



  • oh je vois où est mon erreur
    pour -1/(2x) j'ai mis (-1/2)lnx j'ai confondu dérivée et primitive merci je vais pouvoir continuer



  • du coup je trouve f'(x)=(x²+3-2lnx)/(2x²)
    donc g(x)=x²+3-2lnx
    pour dresser le tableau de variation je calcul g'(x)
    g'(x)=2x-2/x
    j'espere etre sur le bonne piste


  • Modérateurs

    vérifie g(x)



  • du coup je trouve f'(x)=(x²+3-2lnx)/(2x²)
    donc g(x)=x²+3-2lnx
    pour dresser le tableau de variation je calcul g'(x)
    g'(x)=2x-2/x
    j'espere etre sur le bonne piste


  • Modérateurs

    oui, c'est bon.


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