Établir le tableau de variation d'une fonction et déterminer ses limites

bonjour a tous,
j'ai du mal a faire l 'exercice est ce que quelqu'un peut m'aider svp
voici l'énoncé
soit f la fonction définie sur l'intervalle ]0;+∞[ par f(x)=(1/2)x+1-1/(2x)+(lnx)/x
1/déterminer la limite de la fonction f en 0. Interpréter
déterminer la limite de la fonction f en +∞
2/montrer que pour tout nombre réel x la fonction dérivée f'de la fonction f est définie par f'(x)=g(x)/2x²
en déduire le signe de f'
dresser le tableau de variation de la fonction f sur ]0;+∞[
3/montrer que l'equation f(x)=0 admet une solution unique c sur ]0;+∞[
Donner en justifiant un encadrement d'amplitude 0.01 du nombre c
merci

Bonjour,

Piste pour démarrer,

J'espère qu'il s'agit bien de

$f(x)=12x+1−12x+lnxxf(x)=\frac{1}{2}x+1-\frac{1}{2x}+\frac{lnx}{x}$

Quelques pistes pour les limites demandées.

Il n'y a pas d'indétermination.

Utilise les limites usuelles de ton cours.

Lorsque x tend vers 0 (par valeurs positives), (1/2)x tend vers 0, 1 reste constant, -1/(2x) tend vers -∞, lnx/x tend vers -∞

Tu déduis que :

$lim⁡x→0+f(x)=−∞\lim_{x\to 0^+}f(x)=-\infty$

En raisonnant de façon identique, tu dois trouver :

$lim⁡x→+∞f(x)=+∞\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$

Regarde cela de près et essaie de poursuivre.

oui il s'agit bien de cette fonction
j'ai bien trouvé ca
aprés j'ai trouvé f'(x)=1/2-(1/2)lnx+(1-lnx)/x²
donc je factorise par 1/(2x²)
du coup je trouve
f'(x)=(1/(2x²))(x²-x²lnx+1-lnx)
pour moi g(x)=x²-x²lnx+1-lnx
et c'est la que j'ai un gros doute

Comme tu ne donnes pas le détail de tes calculs, ce n'est pas facile de savoir ce que tu as fait...

Je te donne des détails:

la dérivée de (1/2)x est 1/2

la dérivée de 1 est 0

la dérivée de -1/(2x) est +1/(2x²)

la dérivée de lnx/x est (1-lnx)/x²

Vérifie.

oh je vois où est mon erreur
pour -1/(2x) j'ai mis (-1/2)lnx j'ai confondu dérivée et primitive merci je vais pouvoir continuer

du coup je trouve f'(x)=(x²+3-2lnx)/(2x²)
donc g(x)=x²+3-2lnx
pour dresser le tableau de variation je calcul g'(x)
g'(x)=2x-2/x
j'espere etre sur le bonne piste

vérifie g(x)

du coup je trouve f'(x)=(x²+3-2lnx)/(2x²)
donc g(x)=x²+3-2lnx
pour dresser le tableau de variation je calcul g'(x)
g'(x)=2x-2/x
j'espere etre sur le bonne piste

oui, c'est bon.