Calculer la dérivée d'une fonction

On considère une casserole dont le volume V est fixé.
Objectif : Montrer que pour un volume V donné, la casserole « économique » est celle dont le rayon est égal à la hauteur.
On parlera de « casserole économique » lorsque la surface de la tôle utilisée est la plus faible possible.
On appellera r le rayon de la casserole et h sa hauteur.

Exprimer V en fonction de r et h.
Exprimer la surface S(r) de la casserole en fonction de V, r et h, puis en fonction de V et r.
Déterminer S’(r).
Conclure.

Mes réponses:

V=(Aire de la base)* h
V= (pi*r²)*b
En fonction de V, r et h:
S(r)=pir²+2pirh

Je suis bloquée pour la suite..
Si vous pouviez me dire si mes résultats sont justes pour les premières questions..

Merci d'avance!

Bonjour Nouche_25,

A partir de la réponse à la question 1, exprime h en fonction de V et r,
Puis tu remplaces h par la relation trouvée dans l'expression de S(r).

BONJOUR ! ! !

Je regarde tes réponses,

Pour la 1), je pense que tu as fait une faute de frappe.

*V= (∏*r²)h

Pour pour le début de la 2) : exact

Ensuite, il faut remplacer h par V/(∏r²)

Ainsi :

$s(r)=\pi r^2+2\pi r( \frac{v}{\pi r^2)=\pi r^2+\frac{2v}{r}$

Maintenant, tu calcules S'(r)

Désolée Noemi, je n'avais pas vu ta réponse.

Ce qui donne:
h=V/pi*r² ??

Donc S(r)= pir²+2pir(V/pi*r²) ???

oui... et c'est ce que je t'ai répondu.

Tu peux simplifier un peu (voir ma réponse)

C'est juste.

Simplifie l'expression.

Ah d'accord, merci je n'avais pas pensé à simplifier

Du coup, je dois utiliser quelle expression de S(r) pour la question 3 ?

oui...

Comment je peux calculer la dérivée de: S(r)= pi*r²+(2V/r) ??

Utilise les formules de ton cours . le "x" de ton cours est remplacé ici par "r"

Donc je dois trouvé:
S'(r)=2pir-(2V/r²)
C'est ça ?

oui.

Il fallait que ça dans la question 3??

Oui.

Passe à la 4), en utilisant la 3) (signe de la dérivée) en jettant un coup d'oeil sur l'énoncé ( Montrer que pour un volume V donné, la casserole « économique » est celle dont le rayon est égal à la hauteur.)

Je dois faire comment pour trouver le signe de la dérivée ??

Pour r positif, tu résous S'(r)=0, puis S'(r) > 0, puis S'(r) < 0

J'ai calculé S'(r)=0
J'ai donc trouvé: r=Racine de (pi*r)/V
C'est juste ?

non, c'est plutôt l'inverse

$r2=vπrr^2=\frac{v}{\pi r}$

Utilise la question 1) pour obtenir r=h

Je comprend pas ce que vous voulez dire

Si tu parles de ton "inversion"

$\leftrightarrow 2\pi r=\frac{2v}{r^2} \leftrightarrow \pi r=\frac{v}{r^2} \leftrightarrow r^2=\frac{v}{\pi r}$

Ce n'est pas terminé car tu as ainsi r² en fonction de r

Utilise l'expression de V de la première question et tu dois trouver r=h

J'ai réduis au même dénominateur. j'ai donc, (pi*r au cube -V)/r²
Est-ce que je suis sur la bonne piste ??

A partir de
πr = V/r², tu déduis V = .....
que tu compares avec
V = πr² h

(Il manque à vérifier que c'est un minimum)

En remplaçant V par son expression :

$r2=πr2hπrr^2=\frac{\pi r^2 h}{\pi r}$

En simplifiant par ∏r

$r^2=r h$

r étant non nul, tu termines pour trouver r=h

Evidemment, ensuite, tu dois traiter de la même façon le cas S'(r) > 0 et S'(r) < 0 pour prouver que r=h correspond à un minimum

J'avais fait: pir=V/r²
pir au cube=V
C'est pas ça ?

OUI . Tu peux faire ainsi, tu remplaces V par son expression et tu simplifies.

J'ai donc comme résultat:
pir au cube=V
pir au cube=pir²h
pir au cube-pir²*h=0
je simplifie par pi et par r, l'équation est donc:
rh=0
r=0/h
r=0

Est-ce que mon raisonnement est bon?

Le début est bon mais la fin est fausse.

Tu peux factoriser :

∏r²(r-h)=0 d'où ...

Donc d'où:
pi*r²=0 OU r-h=0
r²=-pi OU r=0
r=racine de -pi (impossible) OU r=0

Je me suis trompée.

pir au cube = pir²*h

équivaut à : pir²r=pir²h

je simplifie par pi*r² ce qui me donne: r=h

oui.

Tu aurais pu aussi dire :

Vu que ∏r²≠0

∏r²(r-h)=0 <=> r-h=0 <=> r=h

D'accord.

Je dois maintenant faire pareil avec S'(r)<0 et S'(r)>0 ??

Oui.

Tu dois trouver :

S'(r) < 0 <=> r < h

S'(r) > 0 <=> r > h

Bons calculs.

Pour d'abord fait le calcul pour S'(r)>0

S'(r)>0
2pir-(2V)/r²>0
2pir<2V/r²
pir<V/r²
D'où, pir-V/r²<0
(pir au cube-V)/r²<0
pir au cube-V<0
pir au cube>V
pir au cube>pir²h
r>h

C'est ça ?

Il y a des confusions dans les sens des inégalités.

Revois cela tranquillement.

Je reprend à partir de "d'où":
pir-V/r²>0
(pir au cube-V)/r²>0
pir au cube-V>0
pir au cube < V
pir au cube < pir²*h
r<h

Je pense que là, c'est bon?

Revois : Lorsqu'on transpose un terme d'un membre dans l'autre, on ne change pas le sens de l'inégalité.

D'accord, mais par contre, j'ai une question.

Pourquoi est-ce que je dois faire S'(r)<0 et S'(r)>0 alors que nous devons juste montrer que le rayon est égal à la hauteur? Ce qui se démontrer juste avec S'(r)=0, non?

La surface utilisé doit être la plus faible possible;
Il faut donc que tu justifies que r=h correspond à un MINIMUM (et non a un maximum)

Donc :

Pour r < h, S'(r) < 0 S est décroissante
Pour r > h, S'(r) > 0 S est croissante
Pour r = h, S'(r)=0 S a son minimum.

Pour plus de clarté, tu peux faire le tableau de variation de la fonction S sur [0,+∞[