Montrer que des droites sont perpendiculaires à l'aide du produit scalaire

Bonjour, j'ai un exercice que je n'ai pas compris :

ABCD est un rectangle. I est le milieu de [AB]. On note θ = vecteur(AC;DI)

1.On suppose dans cette question que AB = 8 et AD = 3
En exprimant de deux façons le produit scalaire, →AC.DI, déterminer la valeur exacte de cosθ puis une valeur approchée de θ à 0,1° près.

2.On suppose dans cette question que AB = a et AD = b
a) Montrer que → AC.DI = 1/2a² - b²
b) EN déduire quelle condition doivent vérifier a et b pour que les droites (AC) et (DI) soient perpendiculaires

Merci!

Bonjour,

Piste pour démarrer,

1ère façon :

Avec le théorème de Pythagore, tu peux calculer AC et DI

AC²=AB²+BC²=....donc AC=...
DI²=AI²+AD²=....donc DI=...

$\text{\vec{ac}.\vec{di}=ac \times di \times \cos \theta=...\times \cos \theta$

2ème façon :

Tu peux considérer le repère orthonormé $(a,u⃗,v⃗)(a,\vec{u},\vec{v})$
avec
$u⃗=18ab⃗\vec{u} =\frac{1}{8}\vec{ab}$
$v⃗=13ad⃗\vec{v} =\frac{1}{3}\vec{ad}$

Dans ce repère, tu calcules les coordonnées des points A,C, D, I puis des vecteurs $\text{\vec{ac} et \vec{di}$.
Tu en déduis la valeur de $\text{\vec{ac}.\vec{di}$

Avec ces deux façons, tu trouves la valeur de cosθ puis, à la calculette, la valeur approchée de θ.

Avec la 1ère façon, on a
AC = √73 DI = 5
Donc AC.DI = √73x5xcosθ
et avec la 2ème façon on a
A(0;0) C(1;1) B(1;0) D(0;1) I(0,5;0)
AC=1 et DI = -0,5
AC.DI = 1x-0.5xcosθ ?
Comment trouver la valeur cosθ ?

La première façon est bonne.

Pour la seconde, les coordonnées des points sont inexacts à cause du repère que tu as choisi.Il doit être orthonormé pour calculer un produit scalaire.
Prends le repère que je t'ai indiqué pour qu'il corresponde aux calculs de la première façon.

Tu dois trouver

A(0,0), B(8,0), C(8,3), etc

D'ailleurs, je ne comprends pas les réponses que tu as données ensuite...

Rappels utiles :

Les coordonnées d'un vecteur $\text \vec{ab} sont : (x_b-x_a,y_b-y_a)$

Le produit scalaire des 2 vecteurs de coordonnées respectives (X,Y) et (X',Y') estXX'+YY'.

Si besoin tiens nous au courant de tes calculs du second cas avant de tirer les conclusions sur cosθ

D'accord, donc on a A(0,0), B(8,0), C(8,3), D(0;3) I(4;0)
Ainsi on a : AC (8;3) et DI (-4;3)
Donc : AC.DI = -32 + 9 = -23 ?
Que faire ensuite, par rapport a cosθ ?

Pour le vecteur $\text{\vec{ac}$, c'est bon

Pour le vecteur $\text{\vec{di}$, les signes sont faux : recompte

Ensuite, pour le produit scalaire, avec les bons signes pour $\text{\vec{di}$, tu dois trouver :

$\text \vec{ac}.\vec{di}=23$

En faisant le lien entre les deux façons :

$\text{\sqrt{73}\times 5\times \cos \theta=23$

Tu peux ainsi trouver cos θ , puis θ

Si tu ne fais pas d'erreur, au final, tu dois trouver θ≈57,4°

Merci j'ai trouvé.
Maintenant comment faire pour le 2) ?

Pour la 2) tu appliques la méthode de la seconde façon de la 1) (relis là, si besoin).

A(0,0), B(a,0), C(a,b), D(0,b), etc

Donc A(0,0), B(a,0), C(a,b), D(0,b) I (1/2a;0)
Donc AC (a;b) et DI (1/2a;b)
Ainsi AD.DI=1/2a²+b²
Quelle est la condition que doivent vérifier a et pour que les droites soient perpendiculaires?

Tu as fait une erreur de signe sur $di⃗\vec{di}$ , ce qui entraîne une erreur de signe sur $ac⃗.di⃗\vec{ac}.\vec{di}$ (que tu as appelé AD.DI )

Idée pour la fin :

Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul

On pourrait prendre les vecteurs AC et DI, et donc leur produit scalaire est soit 1/2a²+b² soit 23..

Relis ma précédente réponse

Tu as fait une erreur de signe sur l'ordonnée de $di⃗\vec{di}$ ce qui fausse ta réponse sur le produit scalaire qui n'est pas le résultat demandé par l'énoncé.

Effectivement, c'est 1/2a²-b², comment prouver que ce scalaire est nul?

L'énoncé te dit :
Citation
En déduire quelle condition doivent vérifier a et b pour que les droites (AC) et (DI) soient perpendiculaires

Comprends la phrase.

la condition est :

(1/2)a²-b²=0

Donc pour que les droites (AC) et (DI) soient perpendiculaires, il faut que leur scalaire soit (1/2)a²-b²=0.

oui, mais dis plutôt :

Pour que les droites (AC) et (DI) soient perpendiculaires, il faut et il suffit que (1/2)a²-b²=0.

Merci.

De rien !

Bon DM.