Vecteur normal à une droite. Produit scalaire.

Bonjour voici un exercice de mon DM ou je suis bloqué :

ABC est un triangle rectangle en A et on a :
-AC = 2AB
-I milieu de [BC]
-H le pied de la hauteur issue de A dans le triangle ABC
-E et F les projetés orthogonaux de H respectivement sur (AB) et (AC)

Soit J milieu de [AC]
a)Justifier que (A;AB;AJ) est un repère orthonormé
b)Donner sans justifier les coordonnées des points A,B,C et I dans ce repère.
Déterminer une équation de la droite (BC)
3 Déterminer une équation de la droite (AH) à l'aide d'un vecteur normal.
En déduire les coordonnées de H, puis celle de E et F.
Montrer que les droites (AI) et (EF) son perpendiculaires .
Merci..

Bonjour,

Quelque chose ne va pas dans l'énoncé écrit.

Tu as écrit :
Citation
Justifier que (A;AB;AC) est un repère orthonormé
Vu que AC=2AB, cela n'est pas possible

Merci de rectifier l'erreur.

Modifié.

C'est fois, l'énoncé est bon.

Piste pour démarrer,

AJ=(1/2)AC=(1/2)2AB=AB donc AJ=AB
Tu justifies, en plus, que les vecteurs $\text{\vec{aj} et \vec{ab}$ sont orthogonaux.
D'ou repère orthonormé.

A(0,0), B(1,0), C(0,2), I(1/2,1)

Essaie de poursuivre (donne les équations de droites que tu as trouvées, si tu as besoin d'une vérification).

On a pour BC, y = -2x+2 et pour AH, je ne sais pas (à propos du vecteur normal..)

Oui pour (BC)

$bc⃗\vec{bc}$ est un vecteur normal à (AH)

Tu dois trouver : $bc⃗(−1,2)\vec{bc}(-1,2)$

Regarde ton cours pour l'équation de (AH) :

(-1)x+2y+c=0

Vu que cette droite passe par A(0,0), c=0

Tu as donc ainsi l'équation de (AH).

Ah d'accord je l'ai. Donc pour les coordonnées de H,E et F, on sait que E et F sont les projetés orthogonaux de H sur (AB) et (AC), comment trouver leur coordonnées..?

Commence par trouver les coordonnées de H point d'intersection des deux droites, en résolvant le système :

$\left{y=-2x+2\-x+2y=0 \right$

Ensuite, tu en déduiras automatiquement (sans rien faire...) les coordonnées de E et de F.

Dans ce système, x=8/10 et y=4/10 ?

oui.

Il te suffit maintenant de réfléchir ( en regardant le dessin par exemple) pour obtenir les coordonnées de E et de F

E(8/10;0) F(0;4/10) et H(8:10;4/10) ?
Comment prouver que les droites (AIà et (EF) sont perpendiculaires ?

C'est bon pour H, E, F.

Pour la dernière question :

Calcule le produit scalaire $\text{\vec{ai}.\vec{ef}$

Tu dois trouver 0 d'où la conclusion.

Merci.

De rien !

A+