Déterminer la valeur exacte d'une expression trigonométrique

Bonjour,

pouvez-vous m'aider sur cet exercice ?

On sait d'un réel que :

x ∈ $[−∏2;∏2][\frac{-\prod{}}{2};\frac{\prod{}}{2}]$
sin x = (√2-√6)/4

Je dois déterminer la valeur exacte de cos x.
On sait que le réel x cherché est l'un des réels :

{π/12 ; 5π/12:-π/12;-5π/12} je dois trouver x et justifier..

bonne journée

Bonjour,

Piste,

Utiliser la formules sin²x+cos²x=1

Tu pourras ainsi obtenir cos²x, puis cosx en prenant la racine carrée .

Vu l'intervalle donné, nécessairement cosx prendra une valeur positive.

D'accord, si je commence doucement, je remplace :

sin²x + cos²x = 1

[(√2-√6)/4]² + cos²x = 1

Est-ce le bon début ?

oui.

Donc je trouve :

[(-√3+2)/4] + cos²x = 1

puis-je continuer ?

oui, c'est bon.

Tu transposes pour isoler cos²x

Cela devient :

Cos²x = 1 - [(-√3+2)/4]

Cos²x = [(√3+2)/4]

?

C'est bon.

Tu passes maintenant à cosx

Cos x =√[(√3+2)/4] ?

oui, mais il faut justifier pourquoi cosx est positif donc que tu n'as pas retenu l'expression cosx= - ...

Tout d'abord par calcul, - + - = + , du côté logique cos x est positif car x est compris dans un intervalle positif

Cosx est positif car**x ∈ [-∏/2 , ∏/2]**comme l'indique l'énoncé ( tu l'as même écrit en très gros)

Fais le cercle trigonométrique pour t'en apercevoir.

S'il n'y avait pas eu cette indication, il y aurait deux valeurs possibles pour cos x :$\text{ \frac{\sqrt{2+\sqrt 3}}{2} et -\frac{\sqrt{2+\sqrt 3}}{2}$

Donc ici , c'est bien$\text{cosx= \frac{\sqrt{2+\sqrt 3}}{2}$

Une remarque(inutile , vu que l'expression à trouver pour cosx n'est pas indiquée)
Tu aurais pu trouver une expression similaire à celle de sinx
Je t'indique le calcul (si cela l'intéresse) mais ce n'est pas à recopier dans ton DM

$\text{\cos^2x=\frac{2+\sqrt 3}{4}=\frac{8+4\sqrt 3}{16}=\frac{2+6+2\sqrt{12}}{16}=\frac{(\sqrt 2+\sqrt 6)^2}{16}$

d'où $\text{\cos x =\frac{\sqrt 2+\sqrt 6}{4}$

J'en déduis que x prend la valeur -π/12

J'ignore comment tu as fait mais c'est bien ça.

J'ai d'abord convertie les valeurs proposées en degré. Ensuite j'ai tracé un cercle trigonométrique, et placé cos x et sin x, j'en ai déduis géométriquement la valeur de x, est-ce la bonne méthode ?

Oui, c'est bien bon, mais c'est "expérimental".

(D'ailleurs, si tu connaissais les formules d'addition, tu pourrais prouver mathématiquement que c'est bien -∏/12 la bonne valeur.)

Je ne suis pas sûre que cela soit ce qui est attendu...

D'après l'énoncé, il faut que tu fasses un tri entre les valeurs π/12 ; 5π/12:-π/12;-5π/12, vu que l'énoncé affirme qu'une de ces valeurs convient.

Je te suggère de commencer par placer les images de π/12 ; 5π/12: -π/12;-5π/12 sur le cercle trigonométrique.

Vu que sinx < 0 , en observant le graphique, tu pourras éliminer deux de ces valeurs.

Ensuite, vu les expressions de sin²x et de cos²x, tu peux déduire que cos²x > sin²x.
En observant le graphique, tu pourras éliminer une des deux valeurs restantes.

Au final, il restera -∏/12

D'accord ! C'est bien noté !

Par contre, je vous donnes un autre exemple :

lorsque je connais :

Sin $∏12\frac{\prod{}}{12}$ = √6-√2/4

Pour trouver ainsi Cos $∏12\frac{\prod{}}{12}$ , j'applique la même formule :

cos²x+sin²x= 1 ?

Oui.

Tu obtiens ainsi $cos^2$ x, puis, sachant que cosx est positif, tu en déduis cosx (en prenant la racine carrée)

Tu dois trouver :

$cos⁡(π12)=6+24\cos(\frac{\pi}{12})=\frac{\sqrt 6+\sqrt 2}{4}$

(ou une expression équivalente)

D'accord !

cos²x + sin²x = 1
(√6-√2/4)² + cos²x = 1
((-√3+2)/4) + cos²x = 1
cos²x = 1 - ((-√3+2)/4)
cos²x = √3+2/4
cos x = √(√3+2/4) = √6+√2/4

C'est bon ! ! !

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