Déterminer les coefficients d'une fonction rationnelle

Bonjour à tous,

jai un DM à faire mais je ne comprend pas cette question :

f(t) = at+b/t+b

"Sachant qu'à l'instant t = 0 la température T de l'eau est de 20° et qu'à l'instant t = 3 cette température est de 32°. Déterminer les valeurs de a et b."

Pourriez vous m'aider svp? merci d'avance.

Bonjour amzaka,

Je suppose que T correspond à f(t)
Ecris f(0) = 20 et f(3) = 32
tu obtiens un système en fonction de a et b que tu dois résoudre.

la fonction est-elle f(t) = (at+b)/(t+b) ??

Bonjour Noemi et amzaka,

Sauf si j'ai mal lu, je le trouve bizarre cet énoncé...

Que ça soit $f(t)=at+bt+bf(t)=\frac{at+b}{t+b}$

ou $f(t)=at+bt+bf(t)=at+\frac{b}{t+b}$

on obtient $f(0)=bbf(0)=\frac{b}{b}$

Si b=0, f(0) n'existe pas
Si b≠0, f(0)=1

Si T=f(t), comme ça semble plausible, pour avoir f(0)=20, c'est un mystère...

Bonjour Noemi,

oui la fonction est f(t) = (at+b)/(t+b)
le problème est que je n'arrive pas à résoudre les deux équations..

Bonjour Noemi,

oui la fonction est f(t) = (at+b)/(t+b)
le problème est que je n'arrive pas à résoudre les deux équations..

As tu une relation entre f(t) et T ?

Quelles équations trouves tu ?

Rien n'est indiqué sur ma feuille concernant une relation entre f(t) et T.

par exemple j'ai :

f(3) = (at+a)÷(t+b)
32 = (3a+a)÷(3+b)
32 = 4a÷(3+b)
0 = 4a÷(3+b) -32
0 = 4a÷(3+b) - (32(3+b))÷(3+b)
0 = 4a÷(3+b) - (96+32b)÷(3+b)
0 = (4a-96+32b)÷(3+b)
4a+32b-96 = 0
4a+32b = -96
(4/4)a+(32/4)b = -96/4 je multiplie par 4
a+8b = -24

voilà ce que je trouve pour cette équation, à partir de la je suis bloqué, dites moi si j'ai fais des fautes parce que je pense bien que oui, merci

Donc f(t) = (at+a)/(t+b) ?
une erreur de signes
f(3) = (at+a)÷(t+b)
32 = (3a+a)÷(3+b)
32 = 4a÷(3+b)
0 = 4a÷(3+b) -32
0 = 4a÷(3+b) - (32(3+b))÷(3+b)
0 = 4a÷(3+b) - (96+32b)÷(3+b)
0 = (4a-96-32b)÷(3+b)
4a-32b-96 = 0
4a-32b = 96
(4/4)a-(32/4)b = 96/4 je divise par 4
a-8b = 24

applique le même raisonnement avec f(0) =20

f(0) = a/b = 20 soit a = 20b
donc tu dois résoudre le système
a - 8b = 24
a - 20b = 0

merci beaucoup, je viens de comprendre mon erreur, je vous tiens au courant demain mais normalement c'est bon, merci beaucoup en tout cas

et je ne suis pas sur d'une autre question car ca me parait bizarre, pourriez vous m'aider svp

"déterminer le temps minimal pour que la température soit supérieure ou égale à 35°"

la formule étant : f(t) = (at+a)/(t+b)

on arrive à cette equation :

f(t) ≥ 35
(at+a)/(t+b) ≥ 35
(40t+40)/(t+2) ≥ 35
(40t+40)/(t+2) - 35 ≥ 0
(40t+40)/(t+2) - (35(t+2))/(t+2) ≥ 0
(40t+40)/(t+2) - (35t+70)/(t+2) ≥ 0
(40t+40-35t+70)/(t+2) ≥ 0
(5t+110)/(t+2) ≥ 0
5t + 110 ≥ 0
5t ≥ -110
t ≥ -110/5 = -22
t ≥ -22

dites moi si j'ai bon ou pas merci beaucoup

Comme j'ai regardé ton énoncé hier, en attendant que Noemi soit là, je regarde encore.

Tu avais donc fait une confusion que tu as rectifiée entre a et b

Au final, si j'ai bien lu :

$f(t)=40t+40t+2f(t)=\frac{40t+40}{t+2}$

Dans tes derniers calculs, je vois une erreur de signe à la 7ème ligne
(tu as mis +70 au lieu de -70 en supprimant les parenthèses).

Tu devrais trouver :

$5t−30t+2≥0\frac{5t-30}{t+2} \ge 0$

Tu tires la conclusion.

Merci d'avoir répondu et merci pour la rectification, c'est toujours ici que je fais la faute

De rien !

*Si tu veux, tu peux indiquer la conclusion que tu trouves.

Noemi - ou moi - vérifierons.*

j'ai trouvé : t ≥ 6, normalement je ne me suis pas trompé, j'ai vérifié plusieurs fois

C'est la solution.

d'accord, merci beaucoup

De rien !

Comme l'énoncé te demande le temps minimal, tu dois conclure que le temps minimal est 6 .

Exact,

temps minimal donc t = 6
Il nous manque l'unité. seconde, minute, ..... ?

l'unité est minute il me semble

Tout dépend de la source de chaleur.
Regarde ton énoncé de près ; ça doit être marqué quelque part .

Oui c'est bien minutes car il y a un graphique avec "temps en minute"

Le problème est résolu. C'est très bien ainsi !