Conjecturer et prouver les variations d'une suite et étudier sa convergence

Bonjour à tous , voila je bloque sur cette exercice:

On considère la suite (Un) définie sur N par un=2n+1/n+4.
1.Qualculer les quatre premiers termes de cette suite. Quelle conjecture pouvez-vous faire quant au variations de la suite (Un)?
2.Démontrer votre conjecture.
3.La suite (Un) est elle convergente ?Si oui quelle est sa limite en +infini? justifier.

Voici ce que j'ai fait : 1) U0= 1/4 , U1= 3/5 , U2 = 5/6 , U3 = 7/7 , On peut conjecturer que les variations de la suite (Un) sont croissantes car les valeurs sont croissantes. Mais je ne suis pas sur
2) Je ne sais pas comment mi prendre , peut-être avec Un+1 - Un ?
3) je n'ai pas trouvé
Merci pour votre aide.

Bonjour lilou1

Calcule $U_{n+1}$ - $U_n$ ou
$U$ _{n+1} $U_n$

c'est d'accord , ma question est juste ?

Oui la première question est correcte simplifie 7/7 =1.

c'est d'accord , Merci beaucoup .

je bloque ici : 2(n+1)+1/(n+1)+4 - 2n+1/n+4.

[2(n+1)+1]/[(n+1)+4] - (2n+1)/(n+4).=
(2n+3)/(n+5) - (2n+1)/(n+4)

réduis cette expression au même dénominateur et simplifie le numérateur.

Enfaite j'ai plutôt fait Un+1 - Un = 2n+2/n+5 - 2n+1/n+4
= (n+4)(2n+2)- (2n+1)(n+5)/(n+5)(n+4)
= 2n²+2n+8n+8 - 2n² + 10n +n + 5/ (n+5)(n+4)
= 3+n/ (n+5)(n+4) c'est donc positif donc croissant

mais je ne suis pas sûr.

Ah d'accord .

je trouve au final : 7/(n+5)(n+4)

C'est correct.

Quel est le signe de cette expression si n ≥0 ?

Si tu écris 2n+1 = 2n+8 - 7
Soit Un =( 2n+8)/(n+4) - 7/(n+4) simplifie le premier terme
= .....

Donc c'est égal à 5/(n+4)
donc la suite est convergente : Un = 5 na pour limite +infini

Non,

Un =( 2n+8)/(n+4) - 7/(n+4)
= 2 - 7/(n+4)

qui a pour limite 2 si n tend vers ∞.