Établir par récurrence l'expression simplifiée de la somme des termes d'une suite


  • L

    Bonjour, je n'arrive pas à faire une question où l'on a besoin d'un raisonnement par récurrence, la voici :

    Sachant que la formule explicite de la suite (un(u_n(un) est (un(u_n(un) = (2n−1)/2n(2n-1)/2^n(2n1)/2n et que SnS_nSn = u0u_0u0 + u1u_1u1 + ... + unu_nun , établir grâce à un raisonnement par récurrence, que SnS_nSn = 2- (2n+3)/2n(2n+3)/2^n(2n+3)/2n.

    Plus haut dans l'exercice, j'ai déterminé que u0u_0u0 = -1 et u1u_1u1 = 1/2.

    Merci de m'aider car je suis vraiment bloquée...


  • mtschoon

    Bonjour,

    Piste,

    Tu as peut être faitl'initialisation pour n=0 :
     s0=u0=−1=2−2.0+320\ s_0=u_0=-1=2-\frac{2.0+3}{2^0} s0=u0=1=2202.0+3

    Pourla transmission ( ou hérédité)

    A un ordre n de N, tu supposes que

    sn=2−2n+32ns_n=2-\frac{2n+3}{2^n}sn=22n2n+3

    Il faut que tu prouves que la propriété est vraie à l'ordre (n+1), c'est à dire que :

    $s_{n+1}=2-\frac{2(n+1)+3}{2^{n+1}$

    Piste pour pour démontrer cela :

    sn+1=sn+un+1=...........s_{n+1}=s_n+u_{n+1}=...........sn+1=sn+un+1=...........


  • L

    Le problème est que j'ai appris à la faire en trouvant un dénominateur commun est que là, ce serait forcément 2n+12^{n+1}2n+1 ... et je n'y arrive pas.

    2 - (2n+3)/2n(2n+3)/2^n(2n+3)/2n + (2n)/2n+1(2n)/2^{n+1}(2n)/2n+1 est le début si j'ai bien compris mais pourrais tu me renseigner sur l'étaple suivante stp? Concernant le dénominateur enfaite, après je pense que ça ira.
    Merci.


  • kanial
    Modérateurs

    Salut lulu,

    Tu as effectivement le bon début pour la valeur de Sn+1S_{n+1}Sn+1. La prochaine étape est de mettre les deux derniers termes au même dénominateur.

    Un indice pour cela : 2n+12^{n+1}2n+1 = 2 x 2n2^n2n ...

    Tiens-nous au courant 😉


  • L

    Donc :
    2 - (2n+3)/2n(2n+3)/2^n(2n+3)/2n + (2n)/2n+1(2n)/2^{n+1}(2n)/2n+1 = 2 - 2(2n+3)/ 2n+12^{n+1}2n+1 + (2n)/ 2n+12^{n+1}2n+1 = 2 - (2(2n+3)+(2n))/2n+1(2(2n+3)+(2n))/2^{n+1}(2(2n+3)+(2n))/2n+1

    C'est bien ça? Mais maintenant j'ai un nouveau problème, qu'est ce que je fais du tout premier 2? C'est le seul à ne pas être au même dénominateur...

    Vraiment merci pour votre aide 🙂


  • L

    Ah et aussi, pouvez vous me dire sur quoi je dois tomber au final, parce qu'enfaite je viens de me rendre compte que je ne le sais même pas!
    Merci.


  • kanial
    Modérateurs

    Pour ta deuxième question, je t'invite à relire le premier post de mtschoon !

    Et du coup, le premier 2 tu peux le laisser ainsi (puisque l'expression que l'on cherche est de cette forme), il faut surtout que tu simplifies le numérateur de ton deuxième terme maintenant.


  • mtschoon

    Comme déjà indiqué, au final, tu dois trouver :

    $\fbox{s_{n+1}=2-\frac{2(n+1)+3}{2^{n+1}}}$

    c'est à dire :

    $\fbox{s_{n+1}=2-\frac{2n+5}{2^{n+1}}}$

    (Demande si tu ne comprends pas pourquoi)

    Il y a deux fautesdans ton précédent calcul

    Citation
    2 - 2(2n+3)/ 2n+1 + (2n)/ 2n+1 = 2 - (2(2n+3)+(2n))/2n+1

    <strong>Un+1<strong>U_{n+1}<strong>Un+1 est inexact et il y a en plus une erreur de signe en mettant des parenthèses.

    Je reprends :

    $u_{n+1}=\frac{2(n+1)-1}{2^{n+1}}=\frac{2n+2-1}{2^{n+1}}=\frac{2n+1}{2^{n+1}$

    Donc

    sn+1=sn+un+1s_{n+1}=s_n+u_{n+1}sn+1=sn+un+1

    sn+1=2−2(2n+3)2n+1+2n+12n+1s_{n+1}=2-\frac{2(2n+3)}{2^{n+1}}+\frac{2n+1}{2^{n+1}}sn+1=22n+12(2n+3)+2n+12n+1

    sn+1=2−(2(2n+3)2n+1−2n+12n+1)s_{n+1}=2-(\frac{2(2n+3)}{2^{n+1}}-\frac{2n+1}{2^{n+1}})sn+1=2(2n+12(2n+3)2n+12n+1)

    sn+1=2−(2(2n+3)−2n−12n+1)s_{n+1}=2-(\frac{2(2n+3)-2n-1}{2^{n+1}})sn+1=2(2n+12(2n+3)2n1)

    Essaie de terminer les transformations pour trouver le résultat souhaité.


  • L

    C'est bon j'y suis enfin arrivée ! Merci beaucoup 😄

    A présent, j'ai trouvé que la suite SnS_nSn est majorée mais je ne sais pas comment le prouver ? Pourriez vous (encore!) me venir en aide svp ? 🙂


  • mtschoon

    Pour tout n de N, tu viens de démontrer que :

    sn=2−2n+32ns_n=2-\frac{2n+3}{2^n}sn=22n2n+3

    2n+32n<0\frac{2n+3}{2^n} \lt 02n2n+3<0

    donc

    sn<2s_n \lt 2sn<2

    donc....


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