Établir par récurrence l'expression simplifiée de la somme des termes d'une suite

Bonjour, je n'arrive pas à faire une question où l'on a besoin d'un raisonnement par récurrence, la voici :

Sachant que la formule explicite de la suite $u_n$ ) est $u_n$ ) = $2n-1)/2^n$ et que $S_n$ = $u_0$ + $u_1$ + ... + $u_n$ , établir grâce à un raisonnement par récurrence, que $S_n$ = 2- $2n+3)/2^n$ .

Plus haut dans l'exercice, j'ai déterminé que $u_0$ = -1 et $u_1$ = 1/2.

Merci de m'aider car je suis vraiment bloquée...

Bonjour,

Piste,

Tu as peut être faitl'initialisation pour n=0 :
$s0=u0=−1=2−2.0+320\ s_0=u_0=-1=2-\frac{2.0+3}{2^0}$

Pourla transmission ( ou hérédité)

A un ordre n de N, tu supposes que

$sn=2−2n+32ns_n=2-\frac{2n+3}{2^n}$

Il faut que tu prouves que la propriété est vraie à l'ordre (n+1), c'est à dire que :

$s_{n+1}=2-\frac{2(n+1)+3}{2^{n+1}$

Piste pour pour démontrer cela :

$s_{n+1}=s_n+u_{n+1}=...........$

Le problème est que j'ai appris à la faire en trouvant un dénominateur commun est que là, ce serait forcément $2^{n+1}$ ... et je n'y arrive pas.

2 - $2n+3)/2^n$ + $2n)/2^{n+1}$ est le début si j'ai bien compris mais pourrais tu me renseigner sur l'étaple suivante stp? Concernant le dénominateur enfaite, après je pense que ça ira.
Merci.

Salut lulu,

Tu as effectivement le bon début pour la valeur de $S_{n+1}$ . La prochaine étape est de mettre les deux derniers termes au même dénominateur.

Un indice pour cela : $2^{n+1}$ = 2 x $2^n$ ...

Tiens-nous au courant

Donc :
2 - $2n+3)/2^n$ + $2n)/2^{n+1}$ = 2 - 2(2n+3)/ $2^{n+1}$ + (2n)/ $2^{n+1}$ = 2 - $2(2n+3)+(2n))/2^{n+1}$

C'est bien ça? Mais maintenant j'ai un nouveau problème, qu'est ce que je fais du tout premier 2? C'est le seul à ne pas être au même dénominateur...

Vraiment merci pour votre aide

Ah et aussi, pouvez vous me dire sur quoi je dois tomber au final, parce qu'enfaite je viens de me rendre compte que je ne le sais même pas!
Merci.

Pour ta deuxième question, je t'invite à relire le premier post de mtschoon !

Et du coup, le premier 2 tu peux le laisser ainsi (puisque l'expression que l'on cherche est de cette forme), il faut surtout que tu simplifies le numérateur de ton deuxième terme maintenant.

Comme déjà indiqué, au final, tu dois trouver :

$\fbox{s_{n+1}=2-\frac{2(n+1)+3}{2^{n+1}}}$

c'est à dire :

$\fbox{s_{n+1}=2-\frac{2n+5}{2^{n+1}}}$

(Demande si tu ne comprends pas pourquoi)

Il y a deux fautesdans ton précédent calcul

Citation
2 - 2(2n+3)/ 2n+1 + (2n)/ 2n+1 = 2 - (2(2n+3)+(2n))/2n+1

$strong>U_{n+1}$ est inexact et il y a en plus une erreur de signe en mettant des parenthèses.

Je reprends :

$u_{n+1}=\frac{2(n+1)-1}{2^{n+1}}=\frac{2n+2-1}{2^{n+1}}=\frac{2n+1}{2^{n+1}$

Donc

$s_{n+1}=s_n+u_{n+1}$

$sn+1=2−2(2n+3)2n+1+2n+12n+1s_{n+1}=2-\frac{2(2n+3)}{2^{n+1}}+\frac{2n+1}{2^{n+1}}$

$sn+1=2−(2(2n+3)2n+1−2n+12n+1)s_{n+1}=2-(\frac{2(2n+3)}{2^{n+1}}-\frac{2n+1}{2^{n+1}})$

$sn+1=2−(2(2n+3)−2n−12n+1)s_{n+1}=2-(\frac{2(2n+3)-2n-1}{2^{n+1}})$

Essaie de terminer les transformations pour trouver le résultat souhaité.

C'est bon j'y suis enfin arrivée ! Merci beaucoup

A présent, j'ai trouvé que la suite $S_n$ est majorée mais je ne sais pas comment le prouver ? Pourriez vous (encore!) me venir en aide svp ?

Pour tout n de N, tu viens de démontrer que :

$sn=2−2n+32ns_n=2-\frac{2n+3}{2^n}$

$2n+32n<0\frac{2n+3}{2^n} \lt 0$

donc

$sn<2s_n \lt 2$

donc....