Dérivée de u*v (Devoir maison)
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LLaura2198 dernière édition par
Bonjour, j'ai besoin d'aide pour mon devoir maison de mathématiques. Voici l'intitulé:
RAPPEL: si u et v sont deux fonctions dérivables sur I alors :
uv est dérivable sur I et (uv)' = u'v + uv'
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.-
Démontrer par reccurence que pour tout entier n≥1, fnf^nfn est dérivable sur I et que nf'xfn−1xf^{n-1}xfn−1.
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Appliquer ce résulltat à la fonction f définie sur ℜ par f(x)=xnf(x)=x^nf(x)=xn où n est un entier naturel non nul.
J'ai commencer la démonstration par reccurence mais je n'arrive pas à réduire.
Voici mon travail :Soit P(n) la propriété définie sur N* par : "(fn(f^n(fn)' = nf'fn−1f^{n-1}fn−1"
Initialisation
Pour n=1, f1f^1f1 = f'f0f^0f0 = f'
P(1) est vraie.Hérédité
Soit n un entier quelconque. On admet que P(n) est vraie (fn(f^n(fn') = nf'fn−1f^{n-1}fn−1 et on montre que P(n+1) est vraie (fn+1(f^{n+1}(fn+1)' = (n+1)f'f).Soit (fn+1(f^{n+1}(fn+1) = fnf^nfn * f
On pose :
u= fnf^nfn
u'= nf'fn−1f^{n-1}fn−1
v= f
v'= f'A partir de la je suis bloquée.
Pourriez-vous m'aider s'il vous plait ? Merci d'avance.
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Bonjour Laura2198,
Applique la relation donnée en Rappel.
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LLaura2198 dernière édition par
C'est ce que j'ai fais :
(fn+1(f^{n+1}(fn+1)' = (nf'fn−1f^{n-1}fn−1) * f + (fn(f^n(fn) *f'C'est la que je suis bloquée... :rolling_eyes:
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La relation que tu cherches est : (fn+1)(f^{n+1)}(fn+1))'=(n+1)f'fnf^nfn
(fn+1(f^{n+1}(fn+1)' = (nf'fn−1f^{n-1}fn−1) * f + (fn(f^n(fn) *f'
= nf'fnf^nfn + fnf^nfnf' il te reste à factoriser
= .....
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LLaura2198 dernière édition par
Je pense avoir trouver ! Merci beaucoup pour votre aide !
