Convergence à prise d'initiative.

Bonsoir, J'ai un exercice à prise d’initiative à faire, dont voici l'énoncé:
On considère la suite $U_n$ ) définie sur N* par: $u1=2u_{1}=\sqrt{2}$ ; $u2=2+2u_{2}=\sqrt{2+\sqrt{2}}$ ; $u3=2+2+2u_{3}=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}$ Et ainsi de suite:
$un=2+2+...+2u_{n}=\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2}}}$ avec n radicaux. Etudier la convergence de la suite $U_n$ ).
J'ai donc voulu exprimer $U_{n+1}$ en fonction de $U_n$ . J'ai alors remarqué que $un+1=2+unu_{n+1}=\sqrt{2+u_{n}}$ . J'ai alors voulu le démontrer par récurrence. J'ai fait mon initialisation sans problème. Et pour l’hérédité, j'ai fait:
$un+1=2+unu_{n+1}=\sqrt{2+u_{n}}$
⇔ $2+un+1=2+2+un2+u_{n+1}=2+\sqrt{2+u_{n}}$
⇔ $2+un+1=2+2+un\sqrt{2+u_{n+1}}=\sqrt{2+\sqrt{2+u_{n}} }$
⇔ $un+2=2+un+1u_{n+2}=\sqrt{2+u_{n+1}}$
Le problème, c'est que je sais pas si j'ai le droit d'écrire cette dernière ligne. Si ce n'est pas le cas, peut-on démontrer cette propriété par récurrence?
Merci de vos conseils.

Bonsoir marky79310,

L'équivalence est correcte.