Comment résoudre une équation trigonométrique



  • Bonjour, je ne saisi pas un point d'exercice sur la trigonométrie...

    On nous demande de résoudre l'équation suivante dans [-π;π] :

    Sin x = Cos (3x)

    Merci de bien vouloir m'aider ...


  • Modérateurs

    Bonjour alithekpop,

    Transforme le sin x en cos(x .....) Formule de trigonométrie.


  • Modérateurs

    Bonjour,

    Une piste possible (parmi d'autres),

    Tu peux commencer par résoudre l'équation sur ℜ et ensuite tu restreindras les solutions à [-∏ , ∏]

    Tu sais que pour tout x réel : sinx=cos(∏/2 -x)

    l'équation peut donc s'écrire :

    cos(π2x)=cos(3x)\cos(\frac{\pi}{2}-x)=\cos(3x)

    Regarde ton cours.

    Tu dois avoir

    cosa=cosb <=> a=b+2k∏ ou a=-b+2kπ , avec k ∈ Z

    Applique ce principe.

    Donne tes résultats si tu as besoin d'une vérification


  • Modérateurs

    Bonjour Noemi.

    Désolée, je n'avais pas vu ta réponse.



  • J'utilises ma formule, cela me donne :

    sin(x)=cos(3x)

    cos(π/2-x)=cos(3x)

    (si je continues je trouves)

    π/2-x=3x
    π/2=4x
    x=π/8



  • Bonjour mtschoon, si j'essayes de re-écrire mes résultats selon les formules du cours j'obtiens :

    x = π/8 + 2kπ
    ou = -π/8 + 2kπ


  • Modérateurs

    C'est à revoir un peu...

    1er cas( du type a=b+2k∏ )

    π2x=3x+2kπ\frac{\pi}{2}-x=3x+2k\pi

    c'est à dire

    4x=π2+2kπ-4x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi

    En divisant par -4

    x=π82kπ4x=\frac{\pi}{8}-\frac{2k\pi}{4}

    Cela correspond à 4 angles solutions.

    Tu donnes à k les valeurs entières pour lesquelles x ∈ [-∏,∏]

    *( Pour rester dans l'intervalle [-∏,∏], tu dois pouvoir donner à k les valeurs 0,1,2,-1 ) *

    Ensuite, tu traites de la même manière le 2ème cas du type a=-b+2k∏



  • J'ai trouvé k = 0, 1, 2, -1

    S = { π/8;-3π/8;-7π/8 ;5π/8}

    2ème cas :

    π/2-x = -3x+2kπ

    donc

    π/2=-2x+2kπ
    π/2-2kπ=-2x

    je divises le tout par -2 :

    x = -π/4+2kπ/2

    x = -π/4 + kπ

    Les valeurs k entières pour lesquelles les solutions appartiennent à l'intervalle [-π;π] sont :

    k = 0, 1

    S = { -2π/8; 6π/8 }

    Donc les solutions en tout sont : {-7π/8;-3π/8;-2π/8;π/8;5π/8;6π/8}

    Est-ce bien cela ?


  • Modérateurs

    Oui, c'est bien ça.

    Eventuellement, tu peux simplifier -2∏/8 en -∏/4 et 6∏/8 en 3∏/4



  • Merci de votre aide !


  • Modérateurs

    De rien !

    A+


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