Comment résoudre une équation trigonométrique

[allthekpop]

Bonjour, je ne saisi pas un point d'exercice sur la trigonométrie...

On nous demande de résoudre l'équation suivante dans [-π;π] :

Sin x = Cos (3x)

Merci de bien vouloir m'aider ...

[Noemi]

Bonjour alithekpop,

Transforme le sin x en cos(x .....) Formule de trigonométrie.

[mtschoon]

Bonjour,

Une piste possible (parmi d'autres),

Tu peux commencer par résoudre l'équation sur ℜ et ensuite tu restreindras les solutions à [-∏ , ∏]

Tu sais que pour tout x réel : sinx=cos(∏/2 -x)

l'équation peut donc s'écrire :

$\cos (\frac{\pi }{2}-x)=\cos (3x)$

Regarde ton cours.

Tu dois avoir

cosa=cosb <=> a=b+2k∏ ou a=-b+2kπ , avec k ∈ Z

Applique ce principe.

Donne tes résultats si tu as besoin d'une vérification

[mtschoon]

Bonjour Noemi.

Désolée, je n'avais pas vu ta réponse.

[allthekpop]

J'utilises ma formule, cela me donne :

sin(x)=cos(3x)

cos(π/2-x)=cos(3x)

(si je continues je trouves)

π/2-x=3x
π/2=4x
x=π/8

[allthekpop]

Bonjour mtschoon, si j'essayes de re-écrire mes résultats selon les formules du cours j'obtiens :

x = π/8 + 2kπ
ou = -π/8 + 2kπ

[mtschoon]

C'est à revoir un peu...

1er cas( du type a=b+2k∏ )

$\frac{\pi }{2}-x=3x+2k\pi$

c'est à dire

$-4x=-\frac{\pi }{2}+2k\pi$

En divisant par -4

$x=\frac{\pi }{8}-\frac{2k\pi }{4}$

Cela correspond à 4 angles solutions.

Tu donnes à k les valeurs entières pour lesquelles x ∈ [-∏,∏]

*( Pour rester dans l'intervalle [-∏,∏], tu dois pouvoir donner à k les valeurs 0,1,2,-1 ) *

Ensuite, tu traites de la même manière le 2ème cas du type a=-b+2k∏

[allthekpop]

J'ai trouvé k = 0, 1, 2, -1

S = { π/8;-3π/8;-7π/8 ;5π/8}

2ème cas :

π/2-x = -3x+2kπ

donc

π/2=-2x+2kπ
π/2-2kπ=-2x

je divises le tout par -2 :

x = -π/4+2kπ/2

x = -π/4 + kπ

Les valeurs k entières pour lesquelles les solutions appartiennent à l'intervalle [-π;π] sont :

k = 0, 1

S = { -2π/8; 6π/8 }

Donc les solutions en tout sont : {-7π/8;-3π/8;-2π/8;π/8;5π/8;6π/8}

Est-ce bien cela ?

[mtschoon]

Oui, c'est bien ça.

Eventuellement, tu peux simplifier -2∏/8 en -∏/4 et 6∏/8 en 3∏/4

[allthekpop]

Merci de votre aide !

[mtschoon]

De rien !

A+