suite définie par récurrence



  • Alors bonjour, voila je rencontre une difficulté sur un exercice concernant une suite définie par récurrence:

    Soit la suite définie par U0U_0=2 et pour tout entier naturel par n,
    Un+1U_{n+1}= 2un+4\frac{-2}{un}+4

    1. Démontrer que, pour tout entier naturel 1≤UnU_n≤4

    ona:1un4  11un14   22un12   22un+472   2un+172on a: 1\leq un\leq 4 \ \ 1\leq \frac{1}{un}\leq \frac{1}{4} \ \ \ -2\leq \frac{-2}{un}\leq \frac{-1}{2} \ \ \ 2\leq \frac{-2}{un}+4\leq \frac{7}{2} \ \ \ 2\leq un+1\leq \frac{7}{2}

    1. Etudier le sens de variation de la suite UnU_n

    Pareil j'ai utilisé le principe par récurrence
    On suppose que:
    unun+1   1un1un+1   2un2un+1   2un+42un+1+4   un+1un+2un\geq un+1 \ \ \ \frac{1}{un}\geq \frac{1}{un+1} \ \ \ \frac{-2}{un}\geq \frac{-2}{un+1} \ \ \ \frac{-2}{un}+4\geq \frac{-2}{un+1}+4 \ \ \ un+1\geq un+2

    Donc UnU_n est décroissante

    Merci d'avance



  • ???


  • Modérateurs

    Bonjour Julie,

    Tu oublies les propriétés des inégalités
    UnU_nUn+1U_{n+1} avec UnU_n > 0
    implique
    1/Un1/U_n1/Un+11/U_{n+1}

    et si on multiplie une inégalité par un nombre négatif, on change ....



    1. U1U_1=3
      U2U_2=10/3
      U3U_3=17/3

    La suite semble croissante
    P:"UnU_nUn+1U_{n+1}"

    Donc on suppose que UnU_nUn+1U_{n+1} pour n fixé:

    unun+1 1un1un+1 2un2un+1 2un+42un+1+4 un+1un+2un\leq un+1 \ \frac{1}{un}\geq \frac{1}{un+1} \ \frac{-2}{un}\leq \frac{-2}{un+1} \ \frac{-2}{un}+4\leq \frac{-2}{un+1}+4 \ un+1\leq un+2

    Donc UnU_nUn+1U_{n+1}
    Donc UnU_n croissante ?


  • Modérateurs

    C'est correct.



  • Et pour la question 1) ?


  • Modérateurs

    Rectifie les calculs,

    tu as fait les mêmes erreurs.



  • 1un4  11un14   22un12   22un+472   2un+1721\leq un\leq 4 \ \ 1\geq \frac{1}{un}\geq \frac{1}{4} \ \ \ -2\leq \frac{-2}{un}\leq \frac{-1}{2} \ \ \ 2\leq \frac{-2}{un}+4\leq \frac{7}{2} \ \ \ 2\leq un+1\leq \frac{7}{2}



  • ??


  • Modérateurs

    C'est correct, il reste à conclure.


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