suite définie par récurrence



  • Alors bonjour, voila je rencontre une difficulté sur un exercice concernant une suite définie par récurrence:

    Soit la suite définie par U0U_0U0=2 et pour tout entier naturel par n,
    Un+1U_{n+1}Un+1= −2un+4\frac{-2}{un}+4un2+4

    1. Démontrer que, pour tout entier naturel 1≤UnU_nUn≤4

    ona:1≤un≤4  1≤1un≤14   −2≤−2un≤−12   2≤−2un+4≤72   2≤un+1≤72on a: 1\leq un\leq 4 \ \ 1\leq \frac{1}{un}\leq \frac{1}{4} \ \ \ -2\leq \frac{-2}{un}\leq \frac{-1}{2} \ \ \ 2\leq \frac{-2}{un}+4\leq \frac{7}{2} \ \ \ 2\leq un+1\leq \frac{7}{2}ona:1un4  1un141   2un221   2un2+427   2un+127

    1. Etudier le sens de variation de la suite UnU_nUn

    Pareil j'ai utilisé le principe par récurrence
    On suppose que:
    un≥un+1   1un≥1un+1   −2un≥−2un+1   −2un+4≥−2un+1+4   un+1≥un+2un\geq un+1 \ \ \ \frac{1}{un}\geq \frac{1}{un+1} \ \ \ \frac{-2}{un}\geq \frac{-2}{un+1} \ \ \ \frac{-2}{un}+4\geq \frac{-2}{un+1}+4 \ \ \ un+1\geq un+2unun+1   un1un+11   un2un+12   un2+4un+12+4   un+1un+2

    Donc UnU_nUn est décroissante

    Merci d'avance



  • ???


  • Modérateurs

    Bonjour Julie,

    Tu oublies les propriétés des inégalités
    UnU_nUnUn+1U_{n+1}Un+1 avec UnU_nUn > 0
    implique
    1/Un1/U_n1/Un1/Un+11/U_{n+1}1/Un+1

    et si on multiplie une inégalité par un nombre négatif, on change ....



    1. U1U_1U1=3
      U2U_2U2=10/3
      U3U_3U3=17/3

    La suite semble croissante
    P:"UnU_nUnUn+1U_{n+1}Un+1"

    Donc on suppose que UnU_nUnUn+1U_{n+1}Un+1 pour n fixé:

    un≤un+1 1un≥1un+1 −2un≤−2un+1 −2un+4≤−2un+1+4 un+1≤un+2un\leq un+1 \ \frac{1}{un}\geq \frac{1}{un+1} \ \frac{-2}{un}\leq \frac{-2}{un+1} \ \frac{-2}{un}+4\leq \frac{-2}{un+1}+4 \ un+1\leq un+2unun+1 un1un+11 un2un+12 un2+4un+12+4 un+1un+2

    Donc UnU_nUnUn+1U_{n+1}Un+1
    Donc UnU_nUn croissante ?


  • Modérateurs

    C'est correct.



  • Et pour la question 1) ?


  • Modérateurs

    Rectifie les calculs,

    tu as fait les mêmes erreurs.



  • 1≤un≤4  1≥1un≥14   −2≤−2un≤−12   2≤−2un+4≤72   2≤un+1≤721\leq un\leq 4 \ \ 1\geq \frac{1}{un}\geq \frac{1}{4} \ \ \ -2\leq \frac{-2}{un}\leq \frac{-1}{2} \ \ \ 2\leq \frac{-2}{un}+4\leq \frac{7}{2} \ \ \ 2\leq un+1\leq \frac{7}{2}1un4  1un141   2un221   2un2+427   2un+127



  • ??


  • Modérateurs

    C'est correct, il reste à conclure.


Se connecter pour répondre