suite définie par récurrence

Alors bonjour, voila je rencontre une difficulté sur un exercice concernant une suite définie par récurrence:

Soit la suite définie par $U_0$ =2 et pour tout entier naturel par n,
$U_{n+1}$ = $−2un+4\frac{-2}{un}+4$

Démontrer que, pour tout entier naturel 1≤ $U_n$ ≤4

$1\leq un\leq 4 \ \ 1\leq \frac{1}{un}\leq \frac{1}{4} \ \ \ -2\leq \frac{-2}{un}\leq \frac{-1}{2} \ \ \ 2\leq \frac{-2}{un}+4\leq \frac{7}{2} \ \ \ 2\leq un+1\leq \frac{7}{2}$

Etudier le sens de variation de la suite $U_n$

Pareil j'ai utilisé le principe par récurrence
On suppose que:
$un+1≥un+2un\geq un+1 \ \ \ \frac{1}{un}\geq \frac{1}{un+1} \ \ \ \frac{-2}{un}\geq \frac{-2}{un+1} \ \ \ \frac{-2}{un}+4\geq \frac{-2}{un+1}+4 \ \ \ un+1\geq un+2$

Donc $U_n$ est décroissante

Merci d'avance

???

Bonjour Julie,

Tu oublies les propriétés des inégalités
$U_n$ ≥ $U_{n+1}$ avec $U_n$ > 0
implique
$1/U_n$ ≤ $1/U_{n+1}$

et si on multiplie une inégalité par un nombre négatif, on change ....

$U_1$ =3
$U_2$ =10/3
$U_3$ =17/3

La suite semble croissante
P:" $U_n$ ≤ $U_{n+1}$ "

Donc on suppose que $U_n$ ≤ $U_{n+1}$ pour n fixé:

$un+1≤un+2un\leq un+1 \ \frac{1}{un}\geq \frac{1}{un+1} \ \frac{-2}{un}\leq \frac{-2}{un+1} \ \frac{-2}{un}+4\leq \frac{-2}{un+1}+4 \ un+1\leq un+2$

Donc $U_n$ ≤ $U_{n+1}$
Donc $U_n$ croissante ?

C'est correct.

Et pour la question 1) ?

Rectifie les calculs,

tu as fait les mêmes erreurs.

$2≤un+1≤721\leq un\leq 4 \ \ 1\geq \frac{1}{un}\geq \frac{1}{4} \ \ \ -2\leq \frac{-2}{un}\leq \frac{-1}{2} \ \ \ 2\leq \frac{-2}{un}+4\leq \frac{7}{2} \ \ \ 2\leq un+1\leq \frac{7}{2}$

??

C'est correct, il reste à conclure.