Fonctions et limites

Bonjour à tous,

J'ai un long exercice à faire, pouvez-vous m'aider à le faire s'il vous plait.

Voici l'énoncé:

On considère la fonction f définie sur $mathbb{R}$ {-2} par $\frac{-2x^2 - 2x + 3}{2x + 4}$
On note C la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthonormé (O; $→^\rightarrow$ i; $→^\rightarrow$ j).

1a) Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.
1b) Lorsque c'est possible, interpréter graphiquement les résultats obtenus.

2a) Montrer qu'il existe trois réels a, b et c tels que: pour tout x≠2, $f(x)=ax+b+c2x+4f(x)=ax+b+\frac{c}{2x+4}$
On déterminera a, b et c
2b) En déduire que la droite Δ: y=-x+1 est asymptote oblique à C aux voisinages de +∞ et de -∞
2c) En déduire la position relative de C à Δ

3a) Justifier que f est dérivable sur $mathbb{R}$ {-2}, puis montrer que pour tout x≠-2, $f′(x)=−4x2−16x−14(2x+4)2f'(x)=\frac{-4x^2-16x-14}{(2x+4)^2}$
3b) Dresser le tableau de variations de f

4)Montrer que le point I(-2; 3) est centre de symétrie de C.

5)Déterminer les coordonnées des éventuels points d'intersection de C avec:
a) l'axe des abscisses
b) l'axe des ordonnées

6a) Déterminer l'équation de T1, tangente à C au point A1 d'abcisse -3/2
6b) Montrer qu'il existe un second point A2 de C en lequel la tangente T2 est parallèle à T1.
Déterminer l'équation de T2.

7)En choissisant comme unité graphique 2cm, construire sur un même graphique: C, Δ, T1 et T2
On fera également apparaître les différentes informations glanées dans l'étude de f ( points particuliers, éventuelles asymptotes, tangentes horizontales...).

8a) m désignant un réel quelconque, on considère l'équation ( Em): $f (x) = m$
On dit que m est un paramètre et que (Em) est une équation paramétrée par m.

a) Déterminer par le calcul le nombre de solutions de l'équaion (Em).
On montrera que sur $mathbb{R}$ {-2}, (Em) ⇔ $2x^2-(2+2m)x+3-4m=0$ .
Puis on fera une " discussion" du nombre de solutions de cette équation en fonction des valeurs du paramètre m.
b) Interpréter graphiquement le résultat précédent.

Mercii

Pour la 1a) j'ai trouvé comme limite en + et - ∞, 0 , et la limite en -2, - et + ∞, est-ce exaxte ?

Bonsoir elena_a,

la limite en +∞ est -∞

Pour la limite au voisinage de -2,
cherche pour x > -2 puis pour x < -2

Oui je les ai deja fait:

Pour la limite en +∞, j'ai trouvé 0
Pareil pour - ∞
Et pour -2 elle tend vers +∞ pour -2- et vers -∞ pour -2+

Est-ce exacte ?

Les limites en +∞ et -∞ sont fausses.

J'ai ressayé de faire les limites en + et en - ∞ mais je ne trouve que 0 comme solution pouvez-vous m'expliquer comment trouver les bonnes limites s'il vous plait.

en ∞, f(x) équivalent à -2x²/2x, soit à -x
donc si x tend vers -∞, f(x) tend vers +∞
et
si x tend vers +∞, f(x) tend vers .....

x tend vers -∞

Ensuite pour la 1b):

Pour +∞:

La droite y=-∞ est asymptote horizontale à C aux voisinages de +∞

Pour -∞:
La droite y=+∞ est asymptote horizontale à C aux voisinages de -∞

Pour -2:

La droire x=-2 est asymptote verticale à C

Il n'y a pas d'asymptote horizontale.

Elles sont toutes les trois verticales ou il n'y a seulement que la dernière ?

Il n'y a que x = -2 qui est une asymptote.

D'accord merci beaucoup.
Je vais essayer de faire la 2a) et je vous dirai les résultats que j'ai trouvé.

Pour la question 2a, réduis l'expression de f(x) au même dénominateur puis simplifie le numérateur et identifie terme à terme.

J'ai trouvé a=-2
b=3
c=9

C'est faux,

indique tes calculs f(x) = (2ax²+2bx+4ax+4b+c)/(2x+4)
si tu identifies
2ax² = -2x² soit a = -1
....

Ensuite,
4a+2b=-2
-4+2b=-2
2b=2
b=1

Et pour le c,
4b+c=3
4+c=3
c=3-4
D'ou c=-1

C'est correct.

D'accord merci.
J'ai essayé de faire la 2b) mais je n'ai pas réussi pouvez-vous me donner une petite aide svp ?

Question 2b)
calcule la limite en ∞ de f(x) -(-x+1)

question 2c) étudie le signe de f(x) -(-x+1)

Pour la 2b) j'ai calculer f(x) -(-x+1) est j'ai trouvé à la fin -1/2x+4
Alors la limite en +∞ tend vers 0.

Pour la 2c), j'ai dit que comme -1/2x+4 est inférieur à 0, alors la droite est au-dessus de la courbe C.

fais les calculs pour +∞ et -∞
si x tend vers +∞, f(x)- y tend vers 0- donc la courbe est au dessous de l'asymptote
Si x tend vers -∞, ....

Si x tend vers -∞, f(x)- y tend vers 0+ donc la courbe est au dessus de l'asymptote

C'est correct.

J'ai essayé de continuer l'exercice mais je suis bloqué à partir de la question 4.
Pourrais-je avoir encore un peu d'aide de votre part s'il vous plait

question 4,

Pose X =x+2 et Y = y-3 et cherche une relation entre Y et X
Puis tu montres que c'est une fonction impaire.

Bonsoir, a la question 4) j'ai trouvé -2/2h
avec f(-2+h)=(-2h²+6h-1)/(2h)
Et pour f(-2-h)=(-2h²-6h-1)/(-2h)
en utilisant si f(a+x)+f(a-x)=2b
je suis alors bloquée ..

I est le point d'intersection des deux asymptotes.

Oui mais j'ai utilisé les éléments d'une courbe afin de déterminer le résultat, avez-vous d'autres solution à me proposer, tout autant efficace ?

faire ce que j'ai indiqué dans un précédent post :
Pose X =x+2 et Y = y-3 et cherche une relation entre Y et X
Y = (-2X²-1)/X = f(X)
Puis tu montres que c'est une fonction impaire.

Finalement j'ai trouvé grâce à la propriété le point I(a;b) est centre de symétrie de C ssi pour tout réel h tel que (a+h) appartient à D f(a+h)+f(a-h)/2 = b j'ai trouvé que b=3 en remplacant h par -2

Pour la 5)a) f(x)=0 j'ai trouvé en discriminant 28 et j'ai x1 = environ 0,82 et x2 = environ -1,82 b) on remplace x par O et je trouve 3/4

Puis la 6)a) j'ai trouvé y=x+3

Mes résultats sont-ils corrects ?
Par contre la 6)b) je suis réellement bloquée

Alors la 6)b) T2 est y=x+b

en effet T1//T2 donc les équations ont le même coefficient, c'est cela ?

La 7) je la ferais seule si vous avez des conseils je les prendrais en compte

Pouvez m'expliquez la 8)a) svp ?

La démarche pour la question 4 est correcte.

Pour la question 8
Ecrire l'équation f(x)-m = 0
réduire au même dénominateur pour trouver l'équation donnée.
Calculer le discriminant et discuter de son signe par rapport au paramètre m.