Etudier la dérivabilité et les variation d'une fonction avec racine carrée

Bonjour, voici un exercice que je n'arrive pas a résoudre.

Dans un repère orthonormé (O;i;j), on considère le cercle C d'équation x²+y²=1 et le point I de coordonnés (1;0)
N et M sont deux points de C tels que la droite (MN) est perpendiculaire en H à la droite (OI).
On note x l'abscisse du point H, ainsi -1≤ x ≤1
Screen du cercle : http://prntscr.com/8vijvz

a. Exprimer les coordonnées des points M et N en fonction de x
b. Montrer que l'aire du triangle MNI est égale à (1-x)√(1-x²)

On a tracé ci contre la courbe représentative de la fonction f définie sur [-1;1] par : f(x)= (1-x)√(1-x²)
Screen de la courbe définie sur [-1;1] : http://prntscr.com/8vilof

a. Justifier que f est dérivable sur ]-1;1[
b. Etudier la dérivabilité de f en 1. Le résultat est il conforme au tracé ?
c. Eudier la dérivabilité de f en -1. Le résultat est il conforme au tracé?
a. Calculer f'(x) pour tout x de ]-1;1[
b. En déduire le sens de variation de f sur ]-1;1[
c. Pour quelle valeur de x, f(x) est il maximal sur [-1;1] ?
Quelle est la nature du triangle MNI lorsque son aire est maximale ?

Merci.

Bonjour Plop1,

Indique tes éléments de réponse et la question qui te pose problème.
Le point M est sur le cercle, si son abscisse est x l'ordonnée vérifie l'équation du cercle donc y = ....

y= 1 ?

Non
y² = 1 - x²
y = ....

y=1-x

Non,

y² = 1 - x² donne
y = ±√(1-x²)
donc écris les coordonnées en fonction de x de M et N.

y=√(1-x²) ⇔ x²+√(1-x²)=1

M(x;√(1-x²)) et N(x;-√(1-x²)) ?

C'est correct.

Ok, comment montrer que l'aire du triangle MNI est égale à (1-x)√(1-x²) ?

Aire du triangle :
Base x hauteur / 2
MN x HI/2
= ....

On utilise les coordonnées soit MN = √(x-x)²+(-√1-x²-√1-x²)²
=√2-2x²
HI=√(1-x)²+(0-0)²
=1-x
(1-x)(√2-2x²)/2 = (1-x)√(1-x²) ?

Des erreurs
MN = 2√(1-x²)
HI = 1-x
MN*HI/2 = (1-x)√(1-x²)

Merci.
Pour justifier que f est dérivable sur ]-1;1[ :
∀x∈]-1;1[, 1-x²>0 donc dérivable sur ]-1;1[ ?

Il faut préciser la définition de dérivabilité.

∀x∈]-1;1[, f(x) ≥0 ?

Etudie la dérivabilité en 1 puis en -1.

f'(x) = 2x/(2√1-x²)
On remplace x par 1 et -1 ?

Et la définition de dérivabilité ??

La fonction f est dérivable en un point a quand elle admet une dérivée finie en a..La fonction f est dérivable sur un intervalle réel ouvert si elle est dérivable en chaque point de cet intervalle donc f dérivable sur ]-1;1[ si f est dérivable en 1 puis en -1 mais comment étudier la dérivabilité en 1 puis en -1 ?
(f(x)-f(a)/x-a) ?)

Calcule la limite de
(f(x) -f(a))/(x-a) quand x tend vers a

Quand x tend vers 1 : (1-x)√1-x² - 0/x-1 = 0
Quand x tend vers -1 : (1-x)√1-x² - 0/x-(-1) = 0

La deuxième limite est fausse.

Quand x tend vers -1 : (1-x)√1-x² - 0/x-(-1) = 1 ?

Non,

[(1-x)√1-x² ]/x-(-1) =
(1-x)√(1-x)/√(1+x)
qui tend vers ∞ si x tend vers -1

Ah d'accord,
On a donc justifié que f est dérivable sur ]-1;1[;
Pour la limite, quand x tend vers 1 le résultat est conforme au tracé mais pour la limite quand x tend vers -1 le résultat n'est pas conforme au tracé étant donné qu'il s'agit de ∞ (et non de 0) si x tend vers -1 (?) (il s'agit ici de +∞ ?)

Oui +∞
donc la fonction n'est pas dérivable en -1.

(On a donc la limite +∞ pas conforme au tracé,
Mais si la fonction n'est pas dérivable en -1 alors pourquoi on nous demande de justifiez que f est dérivable sur ]-1;1[ ? )

Pour calculer f'(x) pour tout x de ]-1;1[, on dérive f(x), donc f'(x) = 2x/(2√1-x²) (car de la forme √u ?)

La fonction f est dérivable sur l'intervalle ouvert ]-1;1[.

Pour la dérivée, forme U x V

(1-x)√(1-x²)

-√(1-x²)+(-2x/(2√1-x²))(1-x) = 2x+2x²/2

f(x) = (1-x)√(1-x²)

f'(x) = -√(1-x²)+(-2x/(2√1-x²))(1-x) =
réduit au même dénominateur
f'(x) = [-2(1-x²) -2x+2x²]/2√(1-x²)
= ....

= [-2+2x² -2x+2x²]/2√(1-x²)
= [-2+4x²-2x]/2√(1-x²)

[-2+4x²-2x]/2√(1-x²)
= (2x²-x-1)/√(1-x²)

Ok, on a donc ∀ x de ]-1;1[ f'(x) = (2x²-x-1)/√(1-x²)
Pour le sens de variation on étudie le signe de la dérivée :
On à ℜ{-1;1}
Le dénominateur est une racine carré, la dérivée est du signe de son numérateur
Pour le numérateur : 2x²-x-1
x1=1 x2=-1/2
La dérivée s'annule pour c'est deux valeurs
On a donc dérivée du signe de a l’extérieur des racines ainsi f est croissante,décroissante puis croissante mais on a pour x=1 valeur interdite
Ainsi le maximum est pour x=1 soit f(x) ≈1,43 ?

La fonction est définie sur [-1;1]
donc tu l'étudie sur cet intervalle.

maximum atteint pour x = -1/2

Donc, ∀ x de [-1;1] f'(x) = (2x²-x-1)/√(1-x²)
Le dénominateur >0 ainsi la dérivée est du signe de son numérateur
Pour le numérateur : 2x²-x-1
x1=1 x2=-1/2
Ainsi f croissante jusqu'à x=-1/2 puis décroissante puis f n'est plus définie sur [-1;1]
maximum est pour x=-1/2 soit f(x) ≈1,43

Vérifie le calcul : si x = -1/2, f(x) = 1,3

Oui c'est exact, comment savoir la nature du triangle MNI, je pense que c'est triangle isocèle

Analyse les mesures des côtés du triangle MNI.

MN=2√(1-x²)
NI=√(1-x)²+(0-(-√(1-x²)))²

MI=√(1-x)²+(0-√(1-x²))²

Remplace x par -1/2