Nombres complexes et entiers

Bonjour,

J'aurais besoin d'aide pour faire mes quatre exercices, voici le premier :

1/ Le plan est rapporté à un repère (O;→u;→v) orthonormé.
On donne A et B les points d'affixes respectifs 1+i et -4-i.
A tout point M d'affixe z, on associe le point M', d'affixe z', tel que →OM'=2→AM+→BM
a) Exprimer z' en fonction de z.

Pour répondre à cette question j'ai calculé :

z→AM=zM-zA=ai+b-(1+i)=i(a-1)+b-1
z→BM=zM-zB=ai+b-(-4-i)=i(a+1)+b+4
Ensuite j'ai remplacé : z'=2[i(a-1)+b-1)]+[i(a+1)+b+4]
Ce qui m'a donné : z'=3ia-i+3b-2 soit z'=3(ia+b)-i-2 donc z'=3z-i-2.

b) Prouver qu'il existe un unique point I confondu avec son image.
Je pense qu'il faut que je fasse un système à double équation. Seulement, je dois prendre l'équation de OM et de OM'????

c) Prouver que I,M et M' sont alignés :
En calculant les coefficients directeurs ym-yi/xm-xi et ym-ym'/xm-xm' et si je trouve les mêmes je pourrais en déduire que ces trois points sont alignés ce à quoi je pourrai répondre grâce à la b).

d) Déterminer la partie réelle x' et la partie imaginaire y' de z'.
on a : a'i+b'=3ia-i+3b+2
0=3ia-a'i-b'-i+3b+2
i(3a-a'-1)-b'+3b+2=0
Partie imaginaire : 3a-a'-1
Partie réelle= -b'+3b+2

Je regarde les autres exercices en attendant votre réponse et donnerai mes pistes de recherches par la suite.
Merci beaucoup d'avance pour votre aide

Bonjour Anonyma10

a) Une erreur de signe
z' = 3z-i+2
b)
Résous z = 3z-i+2

a) J'ai trouvé mon erreur merci
b) z=3z-i+2
ai+b=3(ai+b)-i+2
3(ai+b)-ai-b-i+2=0
i(2a-1)+2b+2=0
2a-1=0 a=1/2
2b+2=0 b=-1

C'est z qui est demandé
z = 3z-i+2
3z - z = -2+i
2z = -2+i
z = ....

z=(-2+i)/2
z=-1+i/2

Dois-je ensuite remplacer z par ce résultat dans l'équation z'=3z-i+2?

z = -1 + i/2
donc il existe un seul point I (-1;1/2) confondu avec son image.

Bonjour,

Pour la suite, il me faut calculer les coordonnées du point M pour montrer qu'ils sont alignés mais je ne vois pas trop comment faire, je pense qu'il faut utiliser la relation →OM'=2→AM+→BM

Pour la question c), cherche une relation entre IM et IM'.

I serait le milieu de MM'? Donc MI+IM'=MM' ?

exprime les affixe de Im et IM' et compare les.

zIM=zM-zI=ai+b-(-1+i/2)=ai+b+1-i/2
zIM'=zM'-zI=3z+2-i-(-1+i/2)=3z+2-i+1+i/2
Franchement je suis désolée mais j'ai vraiment du mal...

Utilise la relation OM' = 2AM + BM
OI + IM' = ....

OI+IM'=3z-i+2 ?

A partir de la relation OM' = 2AM + BM
OI + IM' = 2AI + 2 IM + BI + IM
or
OI = 2OI + BI
donc
IM' = ...

Du coup en refaisant le d) je viens de me rendre compte d'un erreur dans la a) car la forme algébrique d'un nombre complexe c'est a+ib et pas ai+b.
a)- z→AM=zM-zA=a+ib-(1+i)=a+ib-i-1

z→BM=zM-zB=a+ib-(-4-i)=a+ib+4+i
donc z'=2(a+ib-i-1)+(a+ib+4+i)
soit z'=3a+3ib-i+2 soit z'=3(a+ib)-i+2 donc z'=3z-i+2.

c)2AI+BI+IM'=2Ai+2IM+BI+IM
soit IM'=3IM
Donc comme on a IM'=3IM alors les vecteurs IM' et IM sont colinéaires et par suite, les points M',M et I sont alignés.

d) Déterminer la partie réelle x' et la partie imaginaire y' de z'.
on a : a'+ib'=3a+3ib-i+2=i(3b-1)+3a+2
Re(a'+ib') : x'=3a+2
Im(a'+ib'): y'=3b-1
Je ne suis vraiment pas sûre.

Ensuite je donne la fin :

2)Justifier que la somme et la différence de deux entiers quelconques n et p ont même parité.

ma réponse :

Si on a n=2k c'est donc un nombre pair
Et si on a p=2k'+1 c'est donc un nombre impair
donc si on additionne n avec p on obtient un nombre impair car n+p=2k+2k'+1 soit n+p=2(k+k')+1
Donc la somme (ou la soustraction ) d'un pair avec un impair donne un impair.
De la même façon, je trouve que la somme d'un pair avec un pair est un pair et que la somme d'un impair avec impair est un pair.

On note (x:y) les coordonnées de M et (x';y') celles de M'.
On considère l'ensemble H des entiers de 1 à 8 et on ne considère que les points M dont les deux coordonnées x et y appartiennent à H.
a) Déterminer un encadrement de x' et un encadrement de y'.
Donc si ma réponse du 1)d) est la bonne, alors 5<x'<26
et 2<y'<23
J'aurais besoin d'une dernière aide pour les dernières questions s'il vous plaît :
b) Prouver que x'-y' est un multiple de 3.
Je trouve x'-y'= 3(x+1-y) donc x'-y' est un multiple de 3

4)On se propose de déterminer tous les couples (x';y') avec x' dans X, y' dans Y tels que m=x'²-y'² soit un multiple non nul de 60.
a) Prouver alors que x'-y' est un multiple de 6, mais pas de 30.
b) En déduire alors que x'+y' est un multiple de 10.
c) Déterminer au moins trois couples (x';y') qui conviennent ainsi que les (x;y) correspondants.