Etude de fonctions (fonction Arccosinus)

[firstchil974]

Bonsoir tout le monde !
J'aurai besoin de conseils pour un exercice concernant l'étude d'une fonction avec la fonction Arccosinus. Voici le sujet:

On considère la fonction f:x→Arccos( sin(x)/ $$sqrt$(1+cos(x)^2$))
1- Déterminer son domaine de définition et de continuité.
2-a) montrer que f est 2π-périodique.
b) montrer que la droite (d) d'équation x=π/2 est un axe de symétrie de Cf
c) montrer que le point S(0;π/2) est un centre de symétrie de Cf
d) en déduire qu'on peut réduire l'étude de f sur I=[0;π/2]
3- a) Déterminer le domaine de dérivabilité de f.
b)Calculer f'(x) et donner le tableau de variations de f sur I.
4- a) Déterminer une équation de la tangente de Cf en S
b) Démontrer que Cf admet une demi tangente en π/2 et déterminer une équation de cette demi tangente.

Voici mes idées et réponses:

1- Je sais que $sin(x)/$sqrt$(1+cos(x{)}^2$)) doit être compris entre [-1;1]. Or sin(x) et cos(x) est compris ∀x∈$mathbbR$ entre [-1;1]. Donc Df=$mathbbR$.
2- a) Comme sinus, cosinus et Arccosinus sont des fonctions 2π-périodiques alors f l'est aussi comme composée de fonctions sinus, cosinus et Arccosinus.
b) J'ai calculé f(π/2 -x) et f(π/2 +x) et j'obtiens que f(π/2 -x)= f(π/2 +x) donc que Cf admet un axe de symétrie en x=π/2. Je ne suis pas sure de cette réponse.
c) J'ai calculé f(0) et f(0)=π/2 donc le point S(0;π/2) et un centre de symétrie de Cf. Je pense qu'il manque des éléments.
d) Comme f est 2π-périodique, qu'elle a pour axe de symétrie x=π/2 et pour centre de symétrie en S(0;π/2) alors on peut se réduire sur l'intervalle I=[0:π/2].
3- a) On sait que Arccos est dérivable sur ]-1;1[ et sin(x)/ $$sqrt$(1+cos(x)^2$)estd\acute{e}rivablesur$mathbb{R}$. Donc f est dérivable sur ]-1;1[. Je ne suis pas sure de ce raisonnement.
b) Après de longs calculs je trouve:
f'(x)= $-(1+cos(x{)}^2$ $+2sin(x)$^2$)/$sqrt$(2+2cos(x{)}^2$)
D'où f est strictement décroissante sur I et f(0)=π/2 et f(π/2)=0.
4- a) J'ai l'équation y=-x+π/2
b) Je ne sais pas du tout comment faire.

Je vous remercie d'avance pour votre aide et vous souhaite une bonne soirée !

[Noemi]

Bonjour firstchil974,

Les réponses sont correctes mais il manque les calculs.
2 c) pour le centre de symétrie, il faut montrer que la fonction est impaire.
d) indiquer les intervalles d'étude
si f est 2π périodique, étude sur [-π;π]
si f impaire étude sur ....
....

4 b) calcule f'(π/2) puis l'équation de la tangente.

[firstchil974]

Bonjour Noemi,

Pour la 2-c) J'ai posé g(x)=f(x)-π/2
J'ai alors calculé g(-x) et j'ai trouvé: g(-x)=Arccos(-sin(x)/$sqrt$(1+cos(x)^2)))-π/2
Je ne sais pas si je peux écrire que g(-x)=-f(x)-π/2 et donc que g est impaire et que Cf admet pour centre de symétrie le point S(0;π/2).

Pour la d)
je n'avais pas précisé en écrivant ma réponse mais j'avais écrit que:
f est 2π-périodique donc on a l'intervalle [-π;π]
f admet un axe de symétrie en π/2 donc on a l'intervalle [-π/2;π/2]
et f admet un centre de symétrie en S donc on a l'intervalle [0;π/2]

Pour la 4-b)
J'ai calculé la limite de f'(x) lorsque x tend vers π/2 par valeur inférieur à π/2 et je trouve
a=-3$sqrt$2)/2
J'ai donc l'équation: y=a(x-π/2)+f(π/2)⇒y=-3$sqrt$2)/2x + 3$sqrt$2)π/4.
Je pense qu'il y doit y avoir une erreur dans ma dérivée c'est pourquoi je trouve une équation non pertinente.

[Noemi]

Pour le centre de symétrie,
vérifie que Df est centré en 0.
vérifie que f(x) + f(-x) = 2*π/2

Vérifie ton calcul pour la dérivée.

[mtschoon]

Bonjour,

Comme le forum est calme, je regarde un peu cette fonction.

Pour la 2)d), pour démontrer que I(0,∏/2) est centre de symétrie, quelle que soit la démarche utilisée (changement d'axes pour démontrer que g est impaire) ou formule du milieu d'un segment (pour prouver que f(x)+f(-x)=∏),il faut transformer f(-x)

J'explicite un peu.

Propriété à utiliser : $arccos(\alpha )+arccos(-\alpha )=\pi$, c'est à dire $\fbox{arccos (-\alpha)=\pi-arccos (\alpha)}$

C'est du cours ou bien il faut le démontrer.
Pour le démontrer (si besoin) :
soit h(x)=Arccos(x)+Arccos(-x)
On calcule h'(x) et on trouve 0 donc h constante.
Vu que h(0)=2Arccos(0)=∏, h(x)=∏

Ainsi :

$arccos(\frac{sin(-x)}{\sqrt{1+cos^2(-x)})=arccos(\frac{-sinx}{\sqrt{1+cos^2x})=\pi - arccos(\frac{sinx}{\sqrt{1+cos^2x})$

A partir de là, la démonstration de l'imparité est simple.

[mtschoon]

Je regarde la dérivabilité.

Attention : f est dérivable sur ℜ / {∏/2 + k∏} avec k ∈ Z

Une explication :

La dérivée de ArccosU(x) est $\frac{-u'(x)}{\sqrt{1-[u(x)]^2}$

Condition de dérivabilité : $1-[u(x)]^2 > 0$

$u(x)=\frac{sinx}{\sqrt{1+co{s}^{2}x}}$

$1-[u(x){]}^2=\frac{1+co{s}^{2}x-si{n}^{2}x}{1+co{s}^{2}x}=\frac{1+cos(2x)}{1+co{s}^{2}x}$

$0\le 1-[u(x){]}^2\le 1$

La condition impose
1-[U(x)]² ≠0 <=> cos(2x)≠-1 <=> 2x ≠∏ [2∏] <=> x ≠∏/2 [∏]

D'où l'ensemble de dérivabilité indiqué.

Pour x=∏/2, f n'est donc pas dérivable

elle admet un nombre dérivé à gauche A , un nombre dérivé à droite B , mais A≠B.
En (∏/2, 0),point "anguleux", la représentation graphique admet deux "demi-tangentes".
Une à gauche de coefficient directeur A et une à droite de coefficient directeur B.

Après calcul et transformation

$f^{\prime }(x)=\frac{-2cosx}{\sqrt{2co{s}^{2}x)}(1+co{s}^{2}x)}=\frac{-\sqrt{2}cosx}{|cosx|(1+co{s}^{2}x)}$

Sut I=[0,∏/2], f est définie est continue mais elle n'est dérivable QUE sur [0,∏/2[

Sur cet intervalle [0,∏/2[, cosx > 0, donc |cosx|=cosx donc $f^{\prime }(x)=\frac{-\sqrt{2}}{1+co{s}^{2}x}$

Pour trouver A nombre dérivé à gauche en ∏/2 le plus simple évidemment est de faire un passage à la limite ( faire tendre x vers ∏/2 par valeurs inférieures) ce qui donne $a=-\sqrt{2}$

Attention : cela sous-entend la continuité de la fonction dérivée f' ( il faudrait donc au moins l'indiquer...)
Le mieux serait de passer par le taux mais les calculs doivent être plus compliqués...(je n'ai pas regardé !)

Bonne réflexion sur tout ça et bon travail !