Démontrer qu'une suite est arithmétique

Bonjour, j'ai un exercice que je dois faire, j'ai répondue mais avec incertitude, pouvez-vous m'aider ?

J'ai :

$un+1=4un−1un+2un+1=\frac{4un-1}{un+2}$

Ainsi que : $\frac{1}{un-1}$

Je dois démontrer que Vn est aritméthique.

Voilà comment j'ai procédé :

$vn=1un−1→vn+1=1(un+1)−1=14un−1un+2−1=14un−1−(un+2)un+2=14un−1−un−2un+2=13un−3un+2=un+23un−3vn=\frac{1}{un-1}\rightarrow vn+1=\frac{1}{(un+1)-1}=\frac{1}{\frac{4un-1}{un+2}-1}=\frac{1}{\frac{4un-1-(un+2)}{un+2}}=\frac{1}{\frac{4un-1-un-2}{un+2}}=\frac{1}{\frac{3un-3}{un+2}}=\frac{un+2}{3un-3}$

Voilà la partie dont je ne suis pas certaine :

$un+23un−3=(−13)−(1un−1)=−13−vn\frac{un+2}{3un-3}=(\frac{-1}{3})-(\frac{1}{un-1})=\frac{-1}{3}-vn$

Est-ce bien cela ?

Bonjour,

La dernière ligne est fausse.

$un+23(un−1)=13+1un−1=13+vn\frac{u_n+2}{3(u_n-1)}=\frac{1}{3}+\frac{1}{u_n-1}=\frac{1}{3}+v_n$

J'y ai pensée mais en développant le résultat je retombe pas sur "Un+2" mais sur "Un" est-ce normal ?

Bonjour alithekpop,

Vérifie tes calculs, tu dois trouver le résultat.

Je ne comprends pas ce que tu veux dire...

Il n'est pas ici question de "penser" mai de "compter".

$vn+1=vn+13v_{n+1}=v_n+\frac{1}{3}$

$V_n$ ) suite arithmétique de raison 1/3

J'ignore le premier terme...Tu dois avoir $U_0$ ce qui te permet de calculer $V_0$

Ce que je voulais dire c'est que (1/3)+Vn quand je développe je ne retombe pas sur Un+2/(3Un-1) puisque cela me donne Un/3Un-3 (ça me permet de vérifier si je ne me suis pas trompée en simplifiant) , j'ai vérifiée mes calculs mais je trouve pareil.

Indique tes calculs, tu dois oublier le facteur 3.

Je te fais la vérification...

$13+vn=13+1un−1=un−1+33(un−1)=un+23(un−1)=un+23un−3\frac{1}{3}+v_n=\frac{1}{3}+\frac{1}{u_n-1}=\frac{u_n-1+3}{3(u_n-1)}=\frac{u_n+2}{3(u_n-1)}=\frac{u_n+2}{3u_n-3}$

CQFV

Merci mtschoon et Noémie, je viens de comprendre mon erreur !

C'est bien si tu as compris ton erreur .

Bonne suite !