Déterminer la parité, les limites aux bornes, la dérivée première et seconde d'une fonction exponentielle

[Walid]

Bonjour ! Pourriez-vous me corriger s'il vous plait ? Merci !

f(x) = x³.$e^{|x|}$

a) Déterminer la parité

b) Limites aux bornes

c) Dérivée première/seconde

d)Esquisse du graphe

Moi :

a) impaire car f(-x) = f(x)

b) lim±∞ = ∞.0 = x³$/e^x$=∞/∞ (Hospital)

= 3x²$/e^x$ = ∞/∞

= $6/e^{-x}$ = O

c) Dérivée première :
Si x>0

f'(x) = (x3.$e^{-x}$)' = 3x².$e^{-x}$ -x³.$e^x$

Si x<0

f'(x) = 3x².e[sup]x[/sup]+x³e[sup]x[/sup]

c)Dérivée seconde

si x>0

f''(x) = $x(6e^{-x}$-6x.$e^x$-x².$e^x$)

si x<0

f''(x) = $x{e}^x$(6+6x+x²)

Voilà, je vous ai pas mis les tableaux de signes etc pour ne pas vous encombrer, et pour que vous puissiez vous retrouvez plus facilement. Merci !

[mtschoon]

Bonjour,

Merci pour ta modification.

a) f impaire ? Oui

Je regarderai tes réponses de près demain.

[mtschoon]

Je regarde la suite de tes réponses

b) A revoir.

Lorsque x tend vers ±∞, |x| tend vers +∞, $x^3$ tend vers ±∞

La règle de l'Hospital ne s'applique pas ici...

Tu raisonnes directement.

Lorsque x tend vers +∞, la fonction tend vers +∞
Lorsque x tend vers -∞, la fonction tend vers -∞

c) Dérivée première (après factorisation)

Pour x positif , |x|=x

$f(x)=x^3{e}^x$
tu dois trouver, $f^{\prime }(x)=(x^3+3x^2)e^x$

Pour x négatif, |x|=-x

$f(x)=x^3{e}^{-x}$
tu dois trouver, $f^{\prime }(x)=(-x^3+3x^2)e^{-x}$

Remarque : Pour les variations de f, vu que f est impaire, tu peux travailler seulement sur [0,+∞[ et en déduire, par imparité, les variations sur }-∞,0]

d) Dérivée seconde (après factorisation )

Pour x positif

$f^{\prime \prime }(x)=x(x^2+6x+6)e^x$

Pour x négatif

$f^{\prime \prime }(x)=x(x^2-6x+6)e^x$