Suites et fonction exponentielle

Je nécessiterai votre aide à une question de limites de suites.
Soit f(x)=e^x -1/e^x -x et Uo=1/2 Un+1=f(Un)
Tout d'abord, il faut montrer que 1/2≤Un≤Un+1≤1
Ensuite, il faut en déduire qu'elle est convergente et déterminer sa limite.
J'ai essayé par unicité de la limite: e^l -1/e^l-l (=)e^l -1=l(e^l-l) (=)e^l -1-le^l+l^2=0
Là, je bloque.
Merci d'avance.

BONJOUR !

Je pense que tu veux parler de

$f(x)=ex−1ex−xf(x)=\dfrac{e^x - 1}{e^x - x}$

Parce que tu as écrit sans parenthèses cela se traduit en

$f(x)=ex−1ex−xf(x)=e^x - \dfrac{1}{e^x} - x$

Où en es-tu ?

Quelles sont les questions non postées que tu as réussi à faire ?

Pour faire la différence entre $U_n$ +1 et $U_{n+1}$ ,

il y a un bouton Indice sous la zone de saisie !

D'accord, excusez-moi. Alors voilà:
Soit f(x)=(e^x -1)/(e^x -x) et Uo=1/2 Un+1=f(Un)
Tout d'abord, il faut montrer que 1/2≤Un≤Un+1≤1
Ensuite, il faut en déduire qu'elle est convergente et déterminer sa limite.
J'ai essayé par unicité de la limite: (e^l -1)/(e^l-l) (=)e^l -1=l(e^l-l) (=)e^l -1-le^l+l^2=0
Là, je bloque.
Merci d'avance.

Bonsoir,

Si j'ai bien compris, c'est pour trouver la valeur de L ( limite de cette suite convergente) que tu as un problème.

Il faut donc résoudre l'équation f(x)=x sur [1/2 , 1]

Piste,

Tu peux écrire f(x)-x=0

$\leftrightarrow \frac{e^x-1}{e^x-x}-x=0$

Tu justifies d'abord que le dénominateur $e^x$ -x est non nul .

$ex−1ex−x−x=0↔ex−1−x(ex−x)ex−x=0↔ex−1−x(ex−x)=0\frac{e^x-1}{e^x-x}-x=0 \leftrightarrow \frac{e^x-1-x(e^x-x)}{e^x-x}=0 \leftrightarrow e^x-1-x(e^x-x)=0$

En transformant, tu dois obtenir :

$ex(1−x)−1+x2=0↔ex(1−x)−(1−x2)=0e^x(1-x)-1+x^2=0 \leftrightarrow e^x(1-x)-(1-x^2)=0$

En factorisant :

$ex(1−x)−(1−x)(1+x)=0↔(1−x)[ex−(1+x)]=0e^x(1-x)-(1-x)(1+x)=0 \leftrightarrow (1-x)[e^x-(1+x)]=0$

1er cas $\leftrightarrow x=1$

2eme cas : $e^x-1-x=0$

Pour prouver que cette équation $e^x-1-x=0$ n'a pas de solution sur [1/2 ,1], tu peux poser $g(x)= e^x-1-x$

Tu étudies les variations de g sur [1/2 , 1] et tu dois en déduire que : g(x) > 0 donc g(x) ≠ 0

Tu pourras conclure que la seule solution est x=1 qui est la limite de la suite.

Bonsoir,
Merci beaucoup, mais je ne comprends pas pourquoi nous faisons f(x)=x, pouvez-vous m'expliquer s'il vous plait ?

Merci d'avance.

Tes écritures sont difficiles à déchiffrer...

J'ai cru que tu étais à la fin de ton exercice et que tu cherchais la limite L de la suite convergente.

Tu as écrit
Citation
(e^l -1)/(e^l-l) (=)e^l -1=l(e^l-l) (=)e^l -1-le^l+l^2=0

je ne comprends rien à cette écriture...

J'ai cru que tu voulais chercher L tel quef(L)=L

Si c'est le cas, cela veut dire que l'on résoudre l'équation f(x)=x est que la solution sera x=1 donc la limite est L=1

J'ai appeler x l'inconnue par "gout personnel" et par habitude.
Si tu préfères, au lieu d'appeler x l'inconnue, tu peux l'appeler L ; ça ne change en rien les calculs pour résoudre f(L)=L et tu trouveras L=1

Reposte si ce n'est pas ça ton problème.

Bonjour,
il s'agit de déterminer la limite de la suite. J'ai simplement essayé par unicité sans y parvenir. Peut-on trouver la limite par unicité ou il s'agit d'une autre méthode ?

Merci d'avance.

Si ce n'est pas dans ton cours (ce qui me semble surprenant), je t'indique le raisonnement usuel pour trouver la limite unique L d'une suite convergente définie par $u_{n+1}=f(u_n)$ avec f fonction continue

Comme $u_{n+1}=f(u_n)$ , f étant continue, par passage à la limite

$lim⁡n→+∞un+1=lim⁡n→+∞f(un)\lim_{n\to +\infty}u_{n+1}=\lim_{n\to +\infty}f(u_n)$

Or, vu l'unicité de la limite $lim⁡n→+∞un+1=lim⁡n→+∞un=l\lim_{n\to +\infty}u_{n+1}=\lim_{n\to +\infty}u_{n}=l$

Et $lim⁡n→+∞f(un)=f(l)\lim_{n\to +\infty}f(u_{n})=f(l)$

DONC : $l=f(l)\fbox{l=f(l)}$

C'est cette propriété que je t'ai suggérée précédemment pour trouver L=1 dans cet exercice.

Ah d'accord, merci beaucoup !