Fonction exponentielle et dérivabilité
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AAnonyma10 dernière édition par
Bonsoir, j'aurais besoin de pistes de recherche pour cet exercice s'il vous plaît :
Soit f une fonction définie et dérivable sur R.
On suppose que, pour tout réel x : -f(x)≤f'(x)≤f(x).
On désigne par g et h les fonctions définies sur R par : g(x)=e^x*f(x) et h(x)=e^(-x)*f(x).- Justifier que g et h sont dérivables sur R et déterminer leurs fonctions dérivées.
Pour cette question, je pensais utiliser la définition "f est dérivable en a si (f(x)-f(a))/(x-a)) admet une limite finie quand x tend vers a". Cependant je ne sais pas comment l'utiliser car la fonction f n'est pas définie. Alors j'avais pensé dire que comme on sait que f est dérivable sur R et e^x et e^(-x) également, alors g(x) et h(x) sont dérivables ...
2)Montrer que g est une fonction croissante et h une fonction décroissante sur R.
- On suppose maintenant que f(0)=0. Montrer qu'alors, pour tout réel x, f(x)=0.
Merci d'avance pour vos réponses.
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mtschoon dernière édition par
Bonsoir,
Pour la 1), ta seconde idée est la bonne (produit de 2 fonctions dérivables)
Je te donne les dérivées pour vérification
g′(x)=ex(f′(x)+f(x))g'(x)=e^x(f'(x)+f(x))g′(x)=ex(f′(x)+f(x))
h′(x)=e−x(f′(x)−f(x))h'(x)=e^{-x}(f'(x)-f(x))h′(x)=e−x(f′(x)−f(x))
Signes faciles à trouver en utilisant l'hypothèse du début.
Reposte si besoin.
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AAnonyma10 dernière édition par
Bonjour,
J'ai bien trouvé pour les dérivées, merci.
Est-ce que ma réponse pour la 2) est correcte s'il vous plaît ? :
Le signe dépend de (f'(x)+f(x)) et de (f'(x)-f(x)). Comme on sait que f'(x)≤f(x) alors f'(x)-f(x) est négatif donc h(x) est décroissant et f'(x)+f(x) est positif donc g(x) est croissant.Pour la 3) je ne sais pas par où commencer...
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mtschoon dernière édition par
C'est bon pour la 2)
Piste pour la 3)
f(0)=0
Tu sais que g est croissante
g(0)=e0g(0)=e^0g(0)=e0f(0)=0 donc , pour x ≥ 0, g(x) ≥ 0
Vu que exe^xex > 0, nécessairement f(x) ≥ 0
Tu sais que h est décroissante
h(0)=e−0h(0)=e^{-0}h(0)=e−0f(0)=0 donc , pourx ≥0, h(x) ≤ 0
Vu que e−xe^{-x}e−x > 0, nécessairement f(x) ≤ 0
Conclusion :
pour x ≥ 0 f(x) est simultanément positif et négatif donc f(x)=...
Lorsque tu as compris, tu traites de la même façon le casx ≤ 0
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AAnonyma10 dernière édition par
donc f(x)=0.
Comme g est croissante
g(0)=e^0f(0)=0 donc pour x≤0, g(x)≥0
Vu que e^x > 0 alors f(x)≥0Comme h est décroissante
h(0)=0 donc pour x≤0, h(x)≤0
Vu que e^-x>0 alors f(x)≤0
Donc pour x≤0, on a f(x)=0.Donc f(x)=0 pour tout réel x.
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mtschoon dernière édition par
Oui pour la réponse dans la casx ≥ 0
Ton explication ne va pas pour x ≤ 0
g(0)=0 et g croissante doncg(x) ≤ 0 pour x ≤ 0
h(0)=0 et h décroissante donc h(x) ≥ 0 pour x ≤ 0
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AAnonyma10 dernière édition par
Donc pour le cas de g(x) ≤ 0 et x≤0
(e^x est positif) : f(x)≤0pour h(x)≥0 et x≤0
(e^-x>0) f(x)≥0Donc f(x)=0 pour x≤0
Donc pour tout réel x on a bien f(x)=0
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mtschoon dernière édition par
C'est bon.
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AAnonyma10 dernière édition par
Merci beaucoup, bonne soirée!
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mtschoon dernière édition par
De rien et bonne soirée à toi !