Déterminer et représenter ensembles de points dans l'espace

Bonjour, voici un exercice que je ne comprends pas :

Le plan complexe (P) est rapporté au repère orthonormal direct (O;i,j), unité graphique : 3 cm.
On considère l'application f de C{-2-i} dans C définie par f(z) = (z+1-2i)/(z+2+i)

représenter dans (P) le point A d'affixe -3+i
Calculer f(-3+i) et représenter dans (P) le point A' d'affixe f(-3+i)
résoudre dans C l'équation f(z) = 2i
en posant z=x+iy, x∈ℜ, y∈ℜ, déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de f(z). ON vérifiera que : Re(f(z))= (x²+3x+y²-y)/((x+2)²+(y+1)²)
Déterminer et représenter dans (P) l'ensemble E1 des points M d'affixe z tels que f(z) soit réel.
Déterminer et représenter dans (P) l’ensemble E2 des points M d'affixe z tels que f(z) soit imaginaire pur.

Merci.

Bonsoir,

Piste pour démarrer,

$strong>z_A$ =-3+i

$f(−3+i)=−3+i+1+2i−3+i+2+i=−2−i−1+2if(-3+i)=\frac{-3+i+1+2i}{-3+i+2+i}=\frac{-2-i}{-1+2i}$

Ensuite, pour mettre ce résultat sous forme algébrique, tu multiplies numérateur et dénominateur par (-1-2i)

Après calcul et simplification, tu dois trouver f(-3+i)=i

$strong>z_{A'}$ =i

Essaie de poursuivre et donne nous tes résultats si besoin.

Merci, pour le 2), f(z)=2i, soit (z+1-2i)/(z+2+i) = 2i
c'est donc (z+1-2i-(2i(z+2+i)))/(z+2+i)=0
5+6i-2iz/z+2+i=0 ?

Bonsoir Plop1,

Vérifie le calcul :
(z+1-2i-(2i(z+2+i))) = z + 1 - 2i -2iz - 4i +2
= ....

Bonsoir Noemi,

= z+3-6i-2iz/(z+2+i)=0

Résous l'équation :
z+3-6i-2iz = 0

z-2iz-6i=-3

z+3-6i-2iz = 0
z -2iz = -3+6i
z(....) = ....
z = ....

z(1-2i)=-3+6i (i=0,5 ?)
z=(-3+6i)/(1-2i) ?

z+3-6i-2iz = 0
z -2iz = -3+6i

z =(-3+6i)/(1-2i)
z = -3(1-2i)/(1-2i)
z = ...

z=-3

C'est juste.

Merci,
Pour le 3), en remplaçant z par x+iy on a : (x+iy+1-2i)/(x+iy+2+i)
Soit (x+1+i(y-2))/(x+2+i(y+1))
Ainsi (x+1+i(y-2))(x-2-i(y+1))/(x+2+i(y+1))(x-2-i(y+1)) Comment réduire cela, si c'est juste ?

Bonsoir,

Vérifie la dernière ligne que tu as écrite, je crois voir des confusions.

$(x+1)+i(y−2)(x+2)+i(y+1)=[(x+1)+i(y−2)][(x+2)−i(y+1)][(x+2)+i(y+1)][(x+2)−i(y+1)]\frac{(x+1)+i(y-2)}{(x+2)+i(y+1)}=\frac{[(x+1)+i(y-2)][(x+2)-i(y+1)]}{[(x+2)+i(y+1)][(x+2)-i(y+1)]}$

Pour le numérateur, tu développes et tu simplifies

Pour le dénominateur, le plus simple est d'utiliser l'identité remarquable (A+B)(A-B)=A²-B²

$x+2)+i(y+1)][(x+2)-i(y+1)]=(x+2)^2-i^2(y+1)^2=(x+2)^2+(y+1)^2$

J'ai un peu de mal pour le numérateur :
Je trouve en simplifiant : x²+3x+2-i(y+1)(x+1)+i(y-2)(x+2)-i²(y-2)(y-1)

Remplace i² par -1 et regroupe les expressions réelles.

Ensuite mets i en facteur dans les deux expressions du milieu.

Termine les calculs

Ainsi , tu auras mis le numérateur sous la forme A+iB avec A et B réels.

Pour pouvoir vérifier tes calculs, je d'indique ce que tu dois trouver pour le numérateur :

$x^2+3x+y^2-y+i(-3x+y-5)$

Bons calculs

Merci, j'ai trouver le numérateur, on a donc :
f(z) = x²+3x+y²-y+i(-3x+y-5)/(x+2)²+(y+1)²
avec Re(f(z)) = x²+3x+y²-y/(x+2)²+(y+1)² et Im(f(z)) = (-3x+y-5)/(x+2)²+(y+1)²
Pour les questions 4) et 5), il faut donc que x²+3x+y²-y = 0 et -3x+y-5 = 0 ?

C'est bien ça, avec la condition (x,y) ≠ (-2,-1), pour les deux.

La 4) : f(z) réel <=> Im(f(z)=0 <=> -3x+y-5 = 0 avec (x,y)≠(-2,-1)

La 5) : f(z )imaginaire <=> Re(f(z) = 0 <=> x²+3x+y²-y=0 avec (x,y)≠(-2,-1)

Il te reste maintenant à déterminer ces deux ensembles.

Le 4) : la droite d'équation y=3x+5
Le 5) : de la forme (x-xr)²+(y-yr)²=R²
Comment en arriver à cette forme ?

Pour la 4) c'est bon pour la droite (D) mais il faut que tu vérifies si le point I de coordonnes (-2,-1) est sur cette droite . S'il y est, l'ensemble sera (D)-{I}

Pour la 5) passe par la forme canonique (avec les identités remarquables)

a²+2ab=(a+b)²-b²

$x2+3x=(x+32)2−94x^2+3x=(x+\frac{3}{2})^2-\frac{9}{4}$

Tu traites de la même façon y²-y

Le point I y est. Donc l'ensemble est (D) \ {I}
On a pour la 5), x²+3x+y²-y=0
Soit (x+3/2)²-9/4 + (y-y/2)²-y Soit (x+3/2)² + (y-y/2)² = 9/4y ?

Non.

Revois la transformation de y²-y

y²-y = (y-y/2)²-1

non...

c'est "y/2" qui ne va pas.

Regarde ce que j'ai fait pour x²+3x et lorsque tu aurais compris, applique la même méthode pour y²-y=y²-1y

$a^2-2ab=(a-b)^2-b^2$

Tu prends $\ et\ b=\frac{1}{2}$

Cela donne (y-1/2)²-1
Soit (x+3/2)² + (y-1/2)² = (9/4+1)²

Non pour (y-1/2)²-1

pour b=1/2, b² ne vaut pas 1 ...Fais attention !

(y-1/2)²-1/4
(x+3/2)² + (y-1/2)²=25/4

Oui.

Tu sais que**(x-a)²+(y-b)²=R²** est l'équation du cercle (C) de centre Ω(a,b) et de rayon R

Tu peux déduire :

Cercle (C) de centre .... et de rayon...

Il faut que tu vérifies si le point I de coordonnes (-2,-1) est sur ce cercle.
S'il y est, l'ensemble sera (C)-{I}

C de centre Ω(3/2;-1/2) et de rayon 5/2
LE point I est sur le cercle, donc C\I

Revois les coordonnées de Ω (problème dans les signes)

Le reste est bon.

C de centre Ω(-3/2;1/2) ?

Oui, c'est bon

merci, par contre j'ai un petit souci pour simplifier le numérateur x²+3x+2-i(y+1)(x+1)+i(y-2)(x+2)-i²(y-2)(y-1) en x²+3x+y²-y+i(-3x+y-5), je pourrai avoir le détail des calculs ?

Fais attention ; il y a une erreur de signe à la fin de ton expression.

C'est :

x²+3x+2-i(y+1)(x+1)+i(y-2)(x+2)-i²(y-2)(y+1)

-i²=1

donc, l'expression s'écrit :

x²+3x+2-i(y+1)(x+1)+i(y-2)(x+2)+(y-2)(y+1)

En regroupant les parties réelles entre elles et les partie imaginaires entre elles, on obtient :

$x^2+3x+2+(y-2)(y+1)]+i[-(y+1)(x+1)+(y-2)(x+2)]$

Tu développes et simplifies chaque quantité entre crochets.

A cause de l'erreur de signe j'avais trouvé autre chose, merci !

Et pourquoi (D)ou(C){I} si la droite ou le cercle passe par ce point ?

Parce que I est le point "interdit" ( le dénominateur de f(z) doit être non nul)

Merci, mais -1=-i ? car ce point I de coordonnées (-2;-1) est il égale à ce que l'on retrouve dans l’énoncé : C\ {-2-i} ? (car je dois représenter i dans un repère pour le point A par exemple..)