Résoudre des équations trigonométriques à l'aide de variables intermédiaires

[Lucy027]

Bonjour , j'ai un exercice de maths a faire mais celui-ci me parait très compliqué , voici l'énoncé complet:

1. Résoudre dans $mathbbR$ l'équation 2X²-X-1=0
   2)On propose de résoudre dans ]-$pi$;$pi$] , puis dans $mathbbR$ l'équation (E) 2sin² x - sin x -1=0.
   a/ On pose X=sin x . Que devient l'équation (E) ?
   b/Résoudre dans ]-$pi$;$pi$] l'équation (E).
   Représenter les solutions sur le cercle trigonométrique.
   Quelles sont les solutions dans $mathbbR$ de cette équation ?

2. On considère l'équation (E'):
   4cos² x + 2(√2 -1) cos x - √2 =0
   a/ Résoudre dans R l'équation :
   4X² + 2 (√2 - 1)X - √2= 0
   b/ Utiliser la question 3)a/ Pour résoudre dans l'intervalle ]-$pi$;$pi$] l'équation (E')
   c/ Représenter les solutions sur le cercle trigonométrique

3. Résoudre dans ]-$pi$;$pi$] l'équation sin² x + sin x - 2=0

J'ai donc répondu a certaines questions:

1. 2X² – X – 1 = 0

Δ= (-1)² – 42(-1)
= 1+8 = 9

X1= (-1- √9)/ 4 = -1 X2= (-1+√9)/4= 1/2

d'où X1 = sin (-$pi$/2) et X2 = sin ($pi$/6)

Donc S={-$pi$/2 ; $pi$/6 ; 5$pi$/6 ; 3$pi$/2}

2. a/ (E): 2X² -X-1=0
   b/ La résolution de (E) est la même que pour la question 1)
   Donc S={-$pi$/2 ; $pi$/6 ; 5$pi$/6 ; 3$pi$/2} dans ]-$pi$;$pi$]
   et S={-$pi$/2 +2k$pi$ ; $pi$/6 +2k$pi$ ; 5$pi$/6 +2k$pi$ ; 3$pi$/2 +2k$pi$} avec k∈$mathbbR$ dans $mathbbR$ , avec dessin du cercle trigonométrique

3)a/ 4X² + 2 (√2 - 1)X - √2= 0
Δ = [2($sqrt$2 -1)]² - 44 (-2)
= 4(2- 2$sqrt$2 +1) + 16$sqrt$2
= 8-8$sqrt$2 +4 + 16$sqrt$2
= 12 + 8$sqrt$2
=(2√2+2)²
Mais à partir de la , je ne sais pas comment faire , pourriez vous m'aider ?

Par avance , Merci de votre aide

[mtschoon]

Bonsoir,

Je regarde dans l'ordre.

Revois la question 1)

Δ est bon, mais il y a des erreurs dans les solutions.

[Lucy027]

Oui , j'ai vu entre temps , les solutions que j'ai mis sont les solutions de la questions 2 , les solutions de la question 1 sont seulement -1 et 1/2

[mtschoon]

Non.

Les solutions de l'équation 2X²-X-1=0 ne sont pas -1 et 1/2.

Recompte.

[Lucy027]

Oups , effectivement , si j'ai bien recompté les résultats sont 1 et -1/2

[mtschoon]

C'est bon maintenant.

Revois la question 2), vu que tu dois changer les valeurs.

[Lucy027]

Question 2 :
S={-$pi$/6 + 2k$pi$ ; $pi$/2 + 2k$pi$ ; 7$pi$/6 +2k$pi$} c'est bien ça ?

[mtschoon]

Oui, tu as bien toutes les solutions dans R ( avec k ∈ Z)

L'énoncé te demande, à la question 2)b), de donner les solutions dans ]-∏,∏]

[Lucy027]

Les solutions pour la 2)b) sont donc S={-$pi$/6 ; $pi$/2 ; 7$pi$/6 }

[mtschoon]

7∏/6 n'est pas une bonne mesure vu qu'elle n'appartient pas à l'intervalle ]-∏,∏]

7∏/6 est à revoir. Ul faut donner la valeur de l'angle comprise entre -∏ et ∏

Je te débloque la question 3) :

$\delta =12+8\sqrt{2}=4(3+2\sqrt{2})=4(1+2+2\sqrt{2})=4(1+\sqrt{2}{)}^2$

Ensuite, la logique est la même qu'à la question précédente.

Bon travail.