Déterminer la fonction dérivée d'une fonction rationnelle

Bonjour,
Voici l’énoncée: f(x) =(ax^3 + bx² + c)/ x² avec x ≠0.

Déterminer la fonction dérivée de f.
J'ai effectuée ceci:
Donc la fonction dérivée de f est :
(u/v)’ = (u’v – uv’)/v² avec

U= ax^3+bx²+c ;; u’= a3x²+b2x+c
V= x² ;; v’= 2x

((a3x²+b2x+c)*x² - (ax^3+bx²+c)*2x) / (x²)² = (( a3x^4+b2x^3+cx²) -

Je suis bloquée pour développer car il faut multiplier tout les membres de la paranthéses par 2x

Bonjour,

Tu as écrit
Citation
f(x) =(ax^3 + bx² + c)/ x²

Si c'est bien ça, la dérivée de c vaut 0 donc U'=3ax²+2bx

Ce n'est pas ce que tu as écrit pour U'x).

Vérifie.

Donc
u = ax^3+bx²+c
u' = 3ax²+ 2bx

v= x²
v'= 2x

(u/v)' = (u'v-uv')/v² = ((3ax²+2bx)*x² - (ax^3+bx²+c)*2x) / (x²)²
= ((3ax^4+2bx^3)-(2ax^4+2bx^3+2cx) / (x²)²

Est ce que jusque là j'ai bon ?

C'est bon jusque là

(ax^4+ 2cx) / (x²)² ?
Donc la fonction dérivée de f est f'= (ax^4+2cx)/(x²)²

Tu as dû faire une erreur de signe.

vérifie

$f′(x)=ax4−2cxx4f'(x)=\frac{ax^4-2cx}{x^4}$

Oui c'est une erreur de signe
Merci

La question suivante me pose problème car lors d'un contrôle et des exercices je ne comprenais pas.
Montrer que déterminer a,b et c pour que la courbe représentative de la fonction f passe par le point A(1;6), par le point B(-2;0) et admette au point d'abscisse 2 une tangente horizontale revient à résoudre le système suivant:
5a+b=6
-a+b=0
4a-c=0

Tu as donc :

f(1)=6
f(-2)=0
f'(2)=0

Tu dois ainsi trouver le système

$\left{a+b+c=6\-8a+4b+c=0\16a-4c=0\right$

En simplifiant la dernière égalité par 4, tu obtiens : 4a-c=0

En remplaçant c par 4a dans les deux premières égalités, tu dois obtenir les relations souhaitées.

J'ai rédigée comme ça:
2) On sait que f(1)=6 ; f(-2)=0 ; f’(2)=0
On sait également que f(x)= (ax^3 + bx² + c)/ x² . Et f’(x)= (ax^4-2cx)/x^4.

f(1)=(a1^3 +b1²+c)/1² = 6 ⇔ a+b+c =6.
Puis on remplace « c » par 4a donc a+b+4a+6 ⇔5a+b=6
f(-2)= a*(-2)^3+b*(-2)²+c = 0 ⇔ -8a+4b+c=0.
Puis on remplace « c » par 4a donc -8a+4b+4a=0 ⇔ -4a+4b=0 ⇔ -a+b=0
f’(2)=a2^4-2c2= 0 ⇔ 16a-4c=0
Puis en s’simplifiant par 4 nous obtenons 4a-c=0

5a+b=6
Donc -a+b=0
4a-c=0

Globalement c'est bon, mais il y a quelque chose de mal ordonné.

Il faut que tu indiques pourquoi c=4a avantde t'en servir dans les deux égalités.

La dernière question de cette exercice est de déterminer l'expression f(x)
J'ai donc mis:

L’expression de f(x) est :
5a+b=6 ⇔ b=6-5a donc b=6-5a
-a+b=0 ⇔ -a+6-5a=0 ⇔6-6a=0 ⇔ -6a=-6 ⇔a=1 donc a=-1
Donc b= 6-5*(-1) =11
4a-c=0 ⇔ 4*(-1)-c=0 ⇔ -4-c=0 ⇔c=0+4 ⇔ c=4 donc c=4
Donc f(x)= (-1x^3+11x²+4)/x²

J'ai rédigée comme ça pour indiquer pourquoi c=4a:

16a-4c=0 ⇔ a-4c=0 ⇔c=4a

Fais attention . Tu as mélangé a=1 avec a=-1 et ça induit des erreurs.

Recompte.

Tu dois trouver a=1, b=1, c=4

$f(x)=x3+x2+4x2f(x)=\frac{x^3+x^2+4}{x^2}$

Oui, merci beaucoup

De rien .

A+