Déterminer l'expression d'une suite définie par récurrence et calculer sa limite

[Alysée]

Bonjour à tous, j'ai un exercice à faire en tant que DM mais je ne parviens pas à le terminer, le voici :

La suite $U_n$ est définie par $U_0$ et $U_1$ et par la relation de récurrence $2U_{n+2}$ - $3U_{n+1}$ + $U_n$ = 0 où n est un nombre entier naturel.
On définit :
$V_n$ = $U_{n+1}$ - $U_n$ et $S_n$ = $V_0$ + $V_1$ + ... + $V_{n-1}$
aDéterminer une relation de récurrence entre $V_{n+1}$ et $V_n$ et en déduire l'expression de $V_n$ en fonction de n, $U_0$ et $U_1$
J'ai fait ici $V_{n+1}$ - $V_n$ et j'ai obtenu $V_{n+1}$ - $V_n$ = $U_{n+2}$ - $2U_{n+1}$ + $U_n$ et je pensais exprimer $U_{n+2}$ en fonction de $U_{n+1}$ et $U_n$ mais je ne sais comment faire

bCalculer $S_n$ de deux façons différentes et en déduire l'expression de $U_n$ en fonction de n, $U_0$ et $U_1$
Je n'y suis pas arrivé

cCalculer la limite de $U_n$ en fonction de $U_0$ et $U_1$
Je n'est pas pue la faire ducoup

Voila je suis vraiment bloqué, si quelqu'un serais m'aidé se serait vraiment gentil, merci beaucoup !

[Alysée]

J'ai trouvé pour la question
1que
Vn+1 - Vn = (-Un+1 + Un) / 2 est ce que c'est ca s'il vous plait?

[Noemi]

Bonjour Alysée,

$V_{n+1}$ = $U_{n+2}$ - $U_{n+1}$
$V_n$ = $U_{n+1}$ - $U_n$
Calcule
$2V_{n+1}$ - $V_n$ = ....
puis tu en déduis la nature de la suite $V_n$ puis la relation de récurrence.

[Alysée]

Bonjour Noemi, merci beaucoup pour ta réponse !
J'ai donc trouver que
$2V_{n+1}$ - $V_n$ = $2U_{n+1}$ - $3U_{n+1}$ - $U_n$
Il y a juste ça à faire pour la question
1?
Merci encore

[Noemi]

$2V_{n+1}$ - $V_n$ = $2U_{n+2}$ - $3U_{n+1}$ - $U_n$= 0
Donc $V_{n+1}$ = ......
Vn suite ......